2024年集英苑冬季竞赛高中数学试题 (1).docxVIP

2024年集英苑冬季赛

数学

姓名准考证号

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共3页，满分150分，考试时间140分钟。

选择题部分(共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.log?4=

A.-1B.0C.1D.2

2.平面向量a=(1,1),b=(2,3),则|a+b|=

A.3B.5C.7D.11

3.已知实数x，y满足约束条件x≥?1,y≥2x,

3.已知实数x，y满足约束条件x≥?1,y≥2x,y≤x+1,

A.[-2,2]B.[-1,1]

C.[-2,1]D.[-1,2]

4.已知等比数列{an}满足a?=a?a?1,若a?=1,,则n=

A.2B.3C.4D.5

5.设a,b∈R,集合A=a,a2+1,B=b,b2+1.则“A=B”是“a=b”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%的同学才能赋分97分及以上.若这些学生的原始分的最大值为a,最小值为b,令f(x)为满足f(a)=100,f(b)=97的一次函数.对于原始分为x(b≤x≤a)的学生，将f(x)的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分96，赋分100；小叶原始分81，赋分97；小林原始分89，他的赋分是

A.97B.98C.99D.98或99

数学试题第1页(共3页)

7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知C=2π

A.2?3B.22C.1D.

8.随机事件A,B,C满足P(A|B)+P(B|C)+P(C|A)=1,,则P(A)+P(B)+P(C)的取值范围是

A.197B.097

非选择题部分(共110分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

9.函数y=sin2x的最小正周期是.

10.椭圆x22+y2=1经过双曲线

11.已知圆锥AO的高等于底面半径r，则圆锥AO与半径为r的球的表面积之比是.

12.若数列{an}满足对任意n∈N·,数列{an}的前n2.项至少有n项大于n，且(a?≥0,则称数列{an}具有性质M2.若存在具有性质M2的数列{an}，使得其前n项和.S?≤λn恒成立，则整数λ的最小值是.

三、解答题：本大题共5小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13.(本题满分15分)如图，已知三棱柱ABC—A?B?C?,AC?⊥平面A?B?C?,AB⊥BC.D,E分别是BC?,AC?的中点.(Ⅰ)证明:DE∥平面A?B?C?;

13.(本题满分15分)如图，已知三棱柱ABC—A?B?C?,AC?⊥平面A?B?C?,AB⊥BC.D,E分别是BC?,AC?的中点.

(Ⅰ)证明:DE∥平面A?B?C?;

(Ⅱ)设AC?与平面ABB?A?所成角的大小是α,若AD⊥BC?,证明:∠BAC=α.

14.(本题满分15分)设a∈R,函数f

(Ⅰ)当a=0时,求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)是否存在a,使得f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数,且g(x)是(?a+∞

数学试题第2页(共3页)

15.(本题满分20分)设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且C??A中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”.

(Ⅰ)判断{1,2,3}是