第一节　计数原理 -2025年高考数学一轮复习讲练测.docx

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第九章计数原理、概率、随机变量及其分布

第一节计数原理

课程目标

课程目标

1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.

2.通过实例，理解排列、组合的概念.

3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

基础知识

基础知识

1.两个计数原理

（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法；

（2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法.

2.排列、组合的定义

排列的定义

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素

并按照一定的排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

组合的定义

作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

3.排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数

组合数

定义

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的

公式

Anm＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1）

Cnm＝A

性质

Ann＝n！，0！

Anm

Cn0＝1，Cnm＝Cnn

基础自测

基础自测

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.（）

（2）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.（）

（3）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（）

（4）若组合数公式Cnx＝Cnm，则x＝m成立

2.从4本不同的课外读物中买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（）

A.12 B.24

C.64 D.81

3.毕业季，6位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三人，要求每列后排同学比前排同学高的不同排法共有（）

A.40种 B.20种

C.180种 D.90种

4.把5张不同的电影票全部分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为.

5.给出下列4个等式：①n！＝（n+1)!n+1；②Anm＝n！（n－m)!；③A

常用结论

1.分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合，特殊元素（位置）优先排.

2.分排问题直接排.

结论运用

1.用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（）

A.8 B.24

C.48 D.120

2.两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，若8名学生去坐（每人一个座位），则不同的坐法种数是（）

A.C85C8

C.A85A8

聚焦考点课堂演练

聚焦考点课堂演练

考点1

考点1两个计数原理

性

【例1】（1）有9本不同的语文书，7本不同的数学书，5本不同的英语书，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（）

A.21种 B.315种

C.143种 D.153种

（2）如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（）

A.24种 B.48种

C.72种 D.96种

（3）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）

A.243 B.252

C.261 D.279

方法技巧

1.利用两个计数原理解决问题的一般步骤

2.对于分类过多的问题，可以采用间接法，利用正难则反的原则，先计算出全部的再减去不符合要求的.

跟踪训练

1.甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（）

A.5 B.24

C.32 D.64

2.将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有种.

考点2

考点2简单的排列与组合问题

性

【例2】（1）甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）

A.30种 B.60种

C.120种 D.240种

（2）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

方法技巧

1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素