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第二节二项式定理
课程目标
课程目标
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
基础知识
基础知识
1.二项式定理
二项式定理
(a+b)n=(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk+1=,它表示展开式的第项
二项式系数
(k=0,1,…,n)
提醒(1)项数为n+1;(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n;(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
2.二项式系数的性质
基础自测
基础自测
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)Cnkan-kbk是二项展开式的第
(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.()
(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.()
2.(1+x)10的展开式中x2的系数为()
A.1 B.10
C.45 D.120
3.若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=()
A.40 B.41
C.-40 D.-41
4.若(x+1x)n的展开式中二项式系数之和为64,则展开式的常数项为
5.已知(x-ax)5的展开式中x5的系数为A,x2的系数为B,若A+B=11,则a=
常用结论
1.若二项展开式的通项为Tr+1=g(r)·xh(r)(r=0,1,2,…,n),g(r)≠0,则:
(1)h(r)=0?Tr+1是常数项;
(2)h(r)是非负整数?Tr+1是整式项;
(3)h(r)是负整数?Tr+1是分式项;
(4)h(r)是整数?Tr+1是有理项.
2.两个常用公式
(1)Cn0+Cn1+Cn2+
(2)Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn
结论运用
1.二项式(3x+32)n(n∈N*)的展开式中只有一项的系数为有理数,则n的可能取值为(
A.6 B.7
C.8 D.9
已知Cn0+2Cn1+22Cn2+23Cn3+…+2nCnn=243,则Cn
聚焦考点课堂演练
聚焦考点课堂演练
考点1
考点1二项式中的特定项及系数问题
性
【例1】(1)(2x-1x)5的展开式中x的系数是(
A.-40 B.40
C.-80 D.80
(2)(x+13x)30的展开式中无理项的项数为(
A.27 B.24
C.26 D.25
方法技巧
求二项展开式中特定项的步骤
跟踪训练
1.(x-13x)18的展开式中含x15的项的系数为
2.在二项式(2+x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.
考点2
考点2二项式系数的性质与各项系数的和
性
考向1二项展开式中的系数和问题
【例2】在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和;
(4)系数绝对值之和.
方法技巧
赋值法的应用
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=1即可;
(2)对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可;
(3)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=f(1)+f(?1)2,偶数项系数之和为a1+a
考向2二项式系数的最值问题
【例3】(1)(多选)下列关于(1x-2x)6的展开式的说法中正确的是(
A.常数项为-160 B.第4项的系数最大
C.第4项的二项式系数最大 D.所有项的系数和为1
(2)在(x-1x)n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为
方法技巧
1.求二项式系数最大项
(1)如果n是偶数,那么中间一项(第n2+1项)的二项式系数最大
(2)如果n是奇数,那么中间两项(第n+12项与第n+12+1
2.求展开式系数最大项
求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用Ak≥A
跟踪训练
1.若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a2+a6+a8=;a1+2a2+3a3+…+10a10=.
2.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为
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