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第八节直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
1.判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)判断直线与椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数,2个时相交,1个时相切,0个时相离.
(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有公共点.
2.弦长公式
(1)若直线y=kx+b与椭圆相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|.
(2)焦点弦(过焦点的弦):最短的焦点弦为通径长,最长为2a.
聚焦考点课堂演练
聚焦考点课堂演练
考点1
考点1直线与椭圆的位置关系
对数函数的图象及应用
【例1】(1)已知椭圆C:x225+y29=1,直线l:(m+2)x-(m+4)y+2-m=0(m∈R),则直线l与椭圆C
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
(2)已知直线l:y=x+m与椭圆C:x25+y24=1有公共点,则实数m
A.[-2,2] B.[-3,3]
C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.(-∞,-3]∪[3,+∞)
方法技巧
1.研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线与椭圆的位置关系,一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题;
(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
2.利用判别式判断直线与椭圆的位置关系的步骤
提醒对于椭圆方程,在第二步中得到的方程的二次项系数一定不为0,故一定为一元二次方程.
跟踪训练
1.“a=1”是“直线y=x+a与椭圆C:x225+y216=1有公共点”
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知点P(x,y)是椭圆x29+y24=1上任意一点,则点P到直线l:y=x+5
A.52+262
C.52+26 D.52-26
考点2
考点2弦长问题
对数函数的图象及应用
【例2】在平面直角坐标系Oxy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l的斜率为12,直线l与椭圆C交于A,B两点.若|AB|=5,求直线l的方程
方法技巧
1.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解;
(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,弦中点M(x0,y0),则:①弦长l=1+k2|x1-x2|=1+1k2|y1-y2|
2.注意两种特殊情况:(1)直线与椭圆的对称轴平行或垂直;(2)直线过椭圆的焦点.
跟踪训练
椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆C经过点(0,1)且长轴长为22.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点M(1,0)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,求弦长|AB|.
考点3
考点3中点弦问题
对数函数的图象及应用
【例3】已知椭圆x22+y
(1)过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点的轨迹方程;
(2)求过点P12,12
方法技巧
中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入椭圆方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,y1-y2x1
(2)根与系数的关系:即联立直线与椭圆的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.
跟踪训练
(1)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是2x-y+9=0,弦的中点坐标是M(-
(2)已知斜率为-13且不经过坐标原点O的直线与椭圆x24+y23=1相交于A,B两点,M为线段AB的中点
直线与椭圆的位置关系
课后分层跟踪巩固
基础达标A
基础达标A
1.已知直线l:x+y-3=0,椭圆x24+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是(
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法确定
2.直线x-y+1=0被椭圆x23+y2=1所截得的弦长|AB|=(
A.322
C.22 D.32
3.如图,椭圆x2a2+y2=1(a>1)与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,点P是过左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点,O为坐标原点,若AB∥OP,则椭圆的焦距为
A.3 B.23
C.1 D.2
4.已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(
A.23 B.
C.-23 D.-
5.在椭圆x24+y27=1上求一点P,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,则点P
A.(32,-74
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