第20届西部数学邀请赛试题及解析 .pdf

第20届中国数学西部邀请赛试题及解析

1.试题

1.是否存在6个两两不同的整数cde,「使得它们恰为关于@的方程

(x+a)(@2+施+c)(@3+d雳+err+/)=0

的6个根？

2.某个国家有2023个岛和2022座桥，任意一座桥连接两个不同的岛，任意

两个岛之间至多有一座桥相连，且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任何

岛.若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接，则称这三个岛组成“岛群”.已知

任两个“岛群”中都有相同的岛，那么恰有一座桥的岛最少有多少个？

3.如图，已知ZVLBQ内两点F,Q满足ZFBC=AQBA且APCB=AQCA,

线段BC上一点D满足ZPDB=ZQDC.设点A关于线BP,QQ的对称点分

别为X,Y.证明：DX=DY.

修订日期：2023-08-20.

1

A

X

4设.〃为素数，整数a,b,c均与〃互素.证明：存在绝对值均小于璀的整数

①3/4满足

aXiX2+bx^x^=c(modp).

5.设非负实数⑶,鬼,•••，Qioo满足对任意2z99,有

max{国—1+国皿+国+ii.

求Qi+h。100的最小值.

6如.图，设圆内接四边形ABCD的对角线4。与6〃的交点为E,AABE的

外心为K,点B关于线CD的对称点为X,点K满足四边形DKEY是平行四

边形.证明：点、D、E、X、F共圆.

7.对于正整数x,y,用rx(g)表示满足厂三v(mod①)的最小正整数r.对任

意正整数如证明：

F(.、仅(Q+6)

2^rb伽)

i=i

2

8.一个100x100方格表的左上角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有

一块奶酪.老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到

相邻的小方格(两个小方格相邻指它们有公共边).现在在一些小方格的边上放置

隔板，老鼠在移动时不能越过隔板.称一种放置隔板的方式是“仁慈的〃，如果放置

隔板后老鼠仍能吃到奶酪.求最小的正整数m使得对任意一种“仁慈的〃放置2023

个隔板的方式，老鼠都能通过不超过n次移动吃到奶酪.

II.解答与评注

题1是否存在6个两两不同的整数c,d,e,/,使得它们恰为关于@的方

程

{x+a)+施+c)仃+日雳2+ex+=0

的6个根？

解不存在.我们采用反证法，假设存在这样的六个不同的整数满足题意要求.

由韦达定理可知关于X的方程(x+q)3+bx+c)(@3+dx2+ex+)=0的

六个根的积为ac,故ac=abode,即ac^bde-1)=0.于是有如下四种情况：

(1)bde=1,但是任意三个不同的整数，乘积不等于1,矛盾.

(2)a=0,则加c,e,/恰为关于x的方程(x2+bx+cXx3+dx2+ex+)=0的

五个根.于是再次利用韦达定理可知—c=bcde,由于a,b,c,d,e,互不相同，可

知c丰0,从而bde=-1,但是任意三个不同的整数，乘积不等于-1,矛盾.

(3)c=0,则,ae—恰为关于⑦的方程(x+a)(x+b)(x3+dx2+ex+)=0的

五个根，