神奇的回归数猜想.pdf

神奇的回归数猜想

英国大数学家哈代〔G.H.Hardy,1877——1947〕曾经发现一个有趣的

现象,就是有这样一些数,他们都是三位数,而且他们等于各位数字的三

次幂之和,例如153=13+53+33

,371=33+73+13,370=33+73+03,407=43+03+73这种巧合真的是很奇妙。

有人在读了哈代这个有趣的发现后,又在有多位的数字中寻找符合这个

规律的数,最后也真的找到这样一些数字。人们把这种其值等于各位数字

的N次幂之和的N

位数,称为N位N次幂回归数。

例如,数字四〔五,六〕次幂之和的四〔五,六〕位数

1634=14+64+34+44,54748=55+45+75+45+85

,548834=56+46+86+86+36+46,人们自然会问,什么样的自然数N有回归

数?

这样的N是有限个,还是无穷多个?对于已经给定的N,如果有回归数,那

么有多少个回归数?我们来看看这种回归数有什么规律呢？

1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那〔AnthonyDiluna〕巧妙地证明

了使N位数成为回归数的N只有有限个。设An

是这样的回归数,即：

An=a1a2a3……an=a1n+a2n+……+ann〔其中0=a1,a2,……an=9〕

从而10n-1=n9n即n必须满足n9n10n-1也就是(10/9)n10n⑴

随着自然数N的不断增大,,(10/9)n值的增加越来越快,很快就会使得⑴式

不成立,因此,满足⑴的n不能无限增大,即n

只能取有限多个.进一步的计算说明：

1/5

(10/9)60=556.4798...10*60=600(10/9)61=618.3109...10*61=610

对于n=61,便有(10/9)n10n

由此可知,使〔1〕式成立的自然数

n=60,故这种回归数最多是60位数,迪拉那说,他的学生们早在1975年借

助于哥伦比亚大学的计算机得到以下回归数：

一位回归数〔夜百荷数〕:1,2,3,4,5,6,7,8,9

二位回归数:不存在(菊花数)〔20,4,16,37,58,89,145,42〕

三位回归数(水仙花数)153,370,371,407

四位回归数(桃花数)1634,8208,9474

五位回归数(梅花数)54748,92727,93084

六位回归数〔雪花数〕548834

七位回归数〔玫瑰数〕1741725,4210818,9800817,9926315

八位回归数〔牡丹数

九位回归数〔〕146511208,472335975,534494836,912985153

十位回归数〔〕4679307774

十一位回归数8269391657844764049651

4267829422532164550606

十二位回归数无解

十三位回归数38(只有广义解一组)

十四位回归数28116440335967

十五位回归数无解

十六位回归数433828176939769391370

十七位回归数356432212062250035

2/5

233411150132317(广义解)

十八位回归数无解

十九位回归数44981287911646248694929273885928088826

328958298444341543307505039

二十位回归数484532788599693916

二十一位回归数12846864346038697307

二十二位回归数无解

三十二位回归数1733353772

五十六位回归数761944046968

但是此后对于哪一个自然数n(=60)还有回归数?对于已经给定的n,能有多

少个回归数?最大的回归数是多少?

12、13、15、18、22

3、现根本找齐60以内的广义花朵数,已找到的最大的广义花朵数为

761944046968

位数：761944046968

三、循环圈花朵数,我们将完整花朵数与广义花朵数都看做循环次数〔周

期〕为1次的循环圈花

朵