高中数学讲义100微专题024恒成立问题__最值分析法含恒成立综合习题.docVIP

PAGE

1-

微专题24恒成立问题——最值分析法

最值法求解恒成立问题是三种方法中最为困难的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题。此方法考研学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类探讨的基本功。是导数中的难点问题。

一、基础学问：

1、最值法的特点：

（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参

（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经验分类探讨

2、理论基础：设的定义域为

（1）若，均有（其中为常数），则

（2）若，均有（其中为常数），则

3、技巧与方法：

（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在运用最值法之前可先做好以下打算工作：

①视察函数的零点是否便于猜出（留意边界点的值）

②缩小参数与自变量的范围：

通过代入一些特别值能否缩小所求参数的探讨范围（便于单调性分析）

视察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围

（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号确定原函数的单调性。假如所构造的函数，其导数结构比较困难不易分析出单调性，则可把须要推断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想方法解决其符号。

（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可依据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的探讨点就集中在“极值点”是否落在定义域内。

二、典型例题：

例1：设，当时，恒成立，求的取值范围

思路：恒成立不等式为，只需，由于左端是关于的二次函数，简洁分析最值点位置，故选择最值法

解：恒成立不等式为，令则对称轴为

（1）当时，在单调递增，

即

（2）当时，在单调递减，在单调递增

终上所述：

小炼有话说：二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值简洁分析。所以二次恒成立不等式往往可考虑利用最值法，此题中对称轴是否在区间内将确定最值的取值，故以此为分类探讨点。

思路二：从另一个角度看，本题简洁进行分别，所以也可考虑参变分别法

解：

（1）时，则(由于系数符号未定，故分类探讨进行参变分别）

令（换元时留意更新新元的取值范围）

则

（2），不等式对随意的均成立

（3），(留意不等号变号！！）

令,则

综上所述：

小炼有话说：

（1）此题运用参变分别法解题并不简便，不仅要对分类探讨，还要处理一个分式函数的最值，所以两个方法请作一对比

（2）最终确定的范围时，是将各部分结果取交集，因为分类探讨是对进行的，的取值要让每一部分必需同时成立才可，所以是“且”的关系，取交集

例2：已知函数，对随意的，不等式恒成立，则的取值范围是___________

思路：若不等式恒成立，则，与差的最大值即为最大值与最小值的差。所以考虑求在的最大最小值，，若，则，所以，若，则，所以。而，所以无论为何值，，则在单调递增。，从而，解得

答案：

例3：已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围

思路一：恒成立的不等式为即,令视察到两点特征：(1)导函数易分析单调性，（2）,对单调性会有肯定要求进而限制参数的取值。所以考虑运用最值法求解。

解：恒成马上不等式恒成立，令

只需即可，

，令（分析的单调性）

当时在单调递减，则

(思索：为什么以作为分界点探讨？因为找到，若要不等式成立，那么肯定从处起要增（不肯定在上恒增，但至少存在一小处区间是增的），所以时导致在处起先单减，那么肯定不符合条件。由此请体会零点对参数范围所起的作用）

当时，分是否在中探讨（最小值点的选取）

若，单调性如表所示

（（1）可以比较的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦。由于最小值只会在处取得，所以让它们均大于0即可。（2）由于并不在中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）

若，则在上单调递增，，符合题意

综上所述：

小炼有话说：此题在的状况也可不分类探讨，因为从单调区间分析来看，在中是极大值点，不行能是最小值，所以无论是否在，最小值（或临界值）均只会在边界处产生，所以只需即可

思路二：不等式中与便于分别，所以只要分别后的的函数易分析出单调性，那么就可考虑运用参变分别法

解：，令，则只需即可

（单调性受分子影响，但无法干脆分析）

令，（求导函数，便不含，可分析单调性，且零点找到，所以方法二可接着进行）

在上单调递增

（体会零点协作单调性对确定函数符号的作用）

，在上单调递增