最佳捕鱼策略数学建模.doc

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最优捕鱼策略问题

一、问题的提出与分析

为了保护人类赖以生存的自然环境，可在生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

考虑对某种鱼（鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，…，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99(克)，各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年)，这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率(1龄鱼与产卵总量之比)为．

渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数。通常使用网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

1)建立数学模型分析如何实现可持续捕捞(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量)。

2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(条)，如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。

分析：就渔业捕捞而言，公司的最优策略应满足以下要求：

(1)可持续捕捞，即在生态上可行，具体地的要求就是，使得每年开始捕捞时渔场的各年龄组的鱼群大小不变；

(2)产量最大，即经济上可行；

(3)技术上可行，不能直接人为地提高产卵率和卵的成活率，采用固定努力量捕捞，每年捕捞强度系数保持不变。

其中要求(3)问题中已经给定，要求(2)是模型所要达到的目标，要求(1)是模型达到最优解的前提。

二、模型的基本假设与符号说明

(一)基本假设

1．渔场是非开放式渔场，不与其它水域发生关系，从而构成独立的生态群落；

2．鱼群是一个独立的群种，不存在与其它生物的竞争；或者有竞争，但其影响只局限于鱼的死亡率内；

3．假设同一年龄组的个体间是同质的，只考虑平均水平，不考虑个体的差异；

4．相邻两个年龄组的鱼在相邻两年之间的变化是连续的，即各年龄组的鱼经过一年后即进入高一级的年龄组，但4龄鱼经过一年后仍视为4龄鱼；

5．假设3、4龄鱼全部具有生殖能力，或者虽然雄性鱼不产卵，但平均产卵量掩盖了这一差异；

6．各年龄组的鱼在一年内任何时间都会发生自然死亡；

7．所有鱼都在每年的四个月内完成产卵和孵化的过程，并且产卵发生于四个月之初，产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后，孵化成活的幼鱼在下一年出成为一龄鱼进入一龄鱼组；

7．对鱼的捕捞采用固定努力量捕捞方式，每年的捕捞强度系数保持不变，且捕捞只在前八个月进行。

(二)符号说明

：时刻龄鱼的数量；

：第年初龄鱼的数量；

：第年底龄鱼的数量；

：第龄鱼的平均重量，(5.07,11.55,17.86,22.99)(单位：

克)；

：自然死亡率，值为0.8(1/年)；

：龄鱼的平均产卵量，，其中为4龄鱼

的平均产卵量，值为(个)；

：第年度的产卵总量(单位：个)；

：对龄鱼的捕捞强度系数，，称为

捕捞努力量；

：第年对龄鱼的捕捞量(条数)；

：第年总收获量(单位：克)；

：即，5年的总收获量(单位：克)．

三、模型的建立与求解

(一)基本模型

我们首先建立基本模型来对鱼群的变化及每年的捕捞量进行描述，由假设可知，鱼群的数量变化满足方程

解上述方程可得

于是龄鱼在第年底的数目为：

，(1)

由假设经一年后，第龄鱼全部转化为龄鱼()，同时由孵化产生1龄鱼，4龄鱼仍为4龄鱼，因此可得

(2)

其中，为年度的总产卵量。由(1)(2)可得鱼群的增长规律为：

(3)

此外，我们可求得第年全年(八个月)的总捕捞量为

(4)

其中第年对龄鱼的捕捞量(条数)为：

．

(3)刻划了鱼群各年龄组每年的变化情况，是第年全年捕捞的鱼的总重量，它们一起构成了基本模型，下面将以此为基础对前面的两个问题进行讨论。

(二)年度可持续捕捞最优模型

可持续捕捞的概念意味