解析几何中求参数取值范围的5种常用方法.pdfVIP

解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：

一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆x2a2+y2b2=1上的点P（x，y）

满足-axa，-byb，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有

多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适

当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.

例1已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂

直平分线与x轴相交于点P（x0，0）

求证:-a2-b2ax0a2-b2a

分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上

的点A，B满足的范围求解.

解:设A，B坐标分别（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得:

y2-y1x2-x1=-b2a2•x2+x1y2+y1

又∵线段AB的垂直平分线方程

y-y1+y22=-x2-x1y2-y1（x-x1+x22）

令y=0得x0=x1+x22•a2-b2a2

又∵A，B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点

∴-ax1a，-ax2a，x1≠x2以及-ax1+x22a

∴-a2-b2ax0a2-b2a

例2如图，已知△OFQ的面积S，且OF•FQ=1，若12S2，求向量OF与

FQ的夹角θ的取值范围.

分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.

解:依题意有

∴tanθ=2S

∵12S2∴1tanθ4

又∵0θπ

∴π4θp

例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围

是（）

Aa0Ba2C0a2D02p

分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a|求解.

解:设Q（y024，y0）由|PQ|≥a

得y02+（y024-a）2≥a2即y02（y02+16-8a）≥0

∵y02≥0∴（y02+16-8a）≥0即a2+y028恒成立

又∵y02≥0

而2+y028最小值2∴a2选（B）

二、利用判别式构造不等式

在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化一元二次方程的解的问题，

因此可利用判别式来构造不等式求解.

例4设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，

则直线L的斜率取值范围是（）

A[-12，12]B[-2，2]C[-1，1]D[-4，4]

分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0

解:依题意知Q坐标（-2，0），则直线L的方程y=k（x+2）

由得k2x2+（4k2-8）x+4k2=0

∵直线L与抛物线有公共点

∴△≥0即k21解得-1k1故选（C）

例5直线L:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B，求实数

k的取值范围.

分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两

点，则△0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.

解：由得（k2-2）x2+2kx+2=0

∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则

解得-2-2p

三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式

曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x