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上海中学2023学年第二学期期终考试
数学试卷
高一______班学号______姓名______成绩______
一、填空题(每小题3分)
1.一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是________
2.已知为虚数单位,若复数满足:,则复数在复平面内所对应的点在第_____象限.
3.设平面向量,,若,不能组成平面上的一个基底,则______.
4.已知平面与平面将空间分成3部分,若空间中还有一个平面,那么这三个平面可以将空间分成______.部分.
5.若复数满足:,则______.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1中点,则直线PB与AD1所成的角为____
7.如图,在四边形ABCD中,G为对角线AC与BD中点连线的中点,为对角线与的交点,用的线性组合表示向量为:______.
8.已知向量,满足:,,,则在上的数量投影为______.
9.已知复数和复数满足:,则______.
10.已知非零向量,,满足:,则的最大值为______.
11.已知复数的模长都为1,且复数的实部为,则的最大值为______.
12.已知平面向量,满足:.若对区间内的三个任意实数,都有,则向量与夹角的最大值的余弦值为______.
二、选择题(每小题4分)
13.已知向量,,则“”是“和的夹角是锐角”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
14.已知,则下列命题中正确的个数为()
①若,则
②若虚数,则中至少有一个为虚数.
③在复平面上所对应的点一定在虚轴上.
A.0 B.1 C.2 D.3
15.如图已知正方体,M,N分别是,的中点,则()
A.直线与直线垂直,直线平面
B.直线与直线平行,直线平面
C.直线与直线相交,直线平面
D.直线与直线异面,直线平面
16.正方体中,为正方形内一点(不含边界),记为正方形的中心,直线与平面所成角分别为,.若,则点在()
A.线段上 B.线段上 C.线段上 D.线段上
三、解答题
17.如图,正方体中,分别为的中点.
(1)证明:平面;
(2)求异面直线与所成角的大小.
18.如图,已知正三角形的边长为2,点为边上一点,且.
(1)若,求实数的值.
(2)计算的值.
19设复数满足:
(1)若,求与.
(2)若是实系数一元二次方程两个根,求实数的值.
20.如图,在四棱锥中,底面是边长为2正方形,且,,点分别为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求点到平面的距离.
21.已知为等腰直角三角形,且,.点是的内部(包括的三条边)不同的点.记集合,若集合是集合的一个非空子集,向量表示集合中所有元素的和.
(1)若点是斜边的等分点,试求(用含的式子表示)
(2)证明对于任意的集合,存在的两个非空子集满足以下条件:①,;②且.
上海中学2023学年第二学期期终考试
数学试卷
高一______班学号______姓名______成绩______
一、填空题(每小题3分)
1.一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是________
【答案】相交或异面
【分析】分为共面和不共面,可确定两种位置关系.
【详解】若为异面直线,
当共面时,相交;当不共面时,异面
故答案为相交或异面
【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定,属于基础题.
2.已知为虚数单位,若复数满足:,则复数在复平面内所对应的点在第_____象限.
【答案】二
【分析】先根据复数的乘方及除法运算求出复数,再根据复数的几何意义即可得解.
【详解】由,得,
所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.
故答案为:二.
3.设平面向量,,若,不能组成平面上的一个基底,则______.
【答案】##
【分析】利用基底的定义可得,再利用共线向量的坐标表示求解即得.
【详解】由,不能组成平面上的一个基底,得,而,,
因此,所以.
故答案为:
4.已知平面与平面将空间分成3部分,若空间中还有一个平面,那么这三个平面可以将空间分成______.部分.
【答案】或
【分析】由题意可得,再分分别与相交时,时两种情况讨论即可.
【详解】因为平面与平面将空间分成3部分,
所以,
当分别与相交时,这三个平面可以将空间分成部分;
当时,这三个平面可以将空间分成部分,
综上所述这三个平面可以将空间分成或部分.
故答案为:或.
5.若复数满足:,则______.
【答案】
【分析】根据复数模的性质求模.
【详解】因为,所以.
故答案为:
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直
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