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雅礼中学2023年高二上学期期末考试试卷
数学试题
时量:120分钟分值:150分
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集,集合M满足,则()
A. B. C. D.
2.已知复数满足,其中为虚数单位,则复数虚部为()
A.1 B. C. D.
3.下列函数中,最小值为2的是()
A. B.
C. D.
4.若tanα=2,则的值为()
A.0 B. C.1 D.
5.棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为
A. B. C. D.
6.如图,在梯形中,,,,若,则()
A.9 B.10 C.11 D.12
7.雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片,在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中,雅礼中学女篮队员们敢打敢拼,最终获得了冠军.在颁奖仪式上,女篮队员12人(其中1人为队长),教练组3人,站成一排照相,要求队长必须站中间,教练组三人要求相邻并站在边上,总共有多少种站法()
A. B. C. D.
8.已知实数,记函数构成的集合.已知实数、,若,,则下列结论正确的是()
A B.若,则
C. D.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.已知变量之间的线性回归方程为,且变量之间的一组相关数据如表所示,则下列说法正确的是()
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A.变量之间呈现负相关关系 B.
C.可以预测,当时,约 D.由表格数据知,该回归直线必过点
10.已知函数,实数,满足,则()
A. B.,,使得
C. D.
11.已知,分别为随机事件,的对立事件,,,则下列说法正确的是().
A. B.
C.若,独立,则 D.若,互斥,则
12.如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻转过程中,下列命题正确的是()
A.MB是定值
B.点M在圆上运动
C.一定存在某个位置,使DE⊥A1C
D.一定存在某个位置,使MB∥平面A1DE
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线在点A(0,1)处的切线方程为___________
14.若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为__________.
15.已知甲、乙两支队伍中各有20人,甲队中有个男生与个女生,乙队伍中有个男生与个女生,若从甲、乙两队中各取1个人,表示所取的2个人中男生的个数,则当方差取到最大值时,的值为__________.
16.已知,满足,,当时,.已知,则函数,的零点个数为__________,这些零点的和为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列中,,且前10项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
18.如图,在直三棱柱中,,,,依次为,的中点.
(1)求证:;
(2)求与平面所成角正弦值.
19.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量单位:克,重量分组区间为,,,,由此得到样本的重量频率分布直方图如图.
(1)求的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;
(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量内的小球个数为,求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
20.(1)已知,,分别为三个内角,,的对边.请用向量方法证明等式;
(2)若三个正数,,满足,证明:以,,为长度的三边可以构成三角形.
21.已知抛物线,点在抛物线上,直线交于,两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点.
(1)求点到抛物线焦点的距离;
(2)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
22.已知函数.
(1)证明;
(2)关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
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