第二节　用样本的数字特征估计总体 -2025年高考数学一轮复习讲练测.docx

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第二节用样本的数字特征估计总体

课程目标

课程目标

1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义.

2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义.

3.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.

4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.

基础知识

基础知识

1.总体百分位数的估计

（1）百分位数

定义

意义

百分位数

一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值

反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点

（2）求一组n个数据的第p百分位数的步骤

第1步：按从小到大排列原始数据；

第2步：计算i＝；

第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数.

2.总体集中趋势的估计

（1）平均数：①若一组数据为x1，x2，…，xn，则该组数据的平均数x＝；

②加权平均数：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个.不妨记为y1，y2，…，yk，其中yi出现的频数fi（i＝1，2，…，k），则加权平均数为y＝1N∑i=1k

③分层随机抽样的平均数：若一组数据是由分层随机抽样所得到的，其中第一层抽取m个，即x1，x2，…，xm，平均数为x，第二层抽取n个，即y1，y2，…，yn，平均数为y，则x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数w＝.

（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，处于位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；

（3）众数：一组数据中出现次数的数据叫做这组数据的众数.

提醒（1）中位数是样本数据所占频率的等分线，不受少数极端值影响；（2）众数体现了样本数据的最大集中点，一组数据可能有n个众数，也可能没有众数；（3）与中位数、众数比较，平均数反映出样本数据的更多信息，对样本数据中的少数极端值更加敏感.

3.总体离散程度的估计

（1）假设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则：

①标准差

s＝1n

②方差

s2＝1n[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]

（2）分层随机抽样的方差

分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为w，样本方差为s2，其中第一层抽取m个数据的平均数为x，方差为s12，第二层抽取n个数据的平均数为y，方差为s22，则该组数据的方差s2＝1m＋n{m[s12＋（x－w）2]＋n[s

基础自测

基础自测

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.（）

（2）方差与标准差具有相同的单位.（）

（3）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.（）

2.为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数为（）

A.8 B.9

C.8.5 D.9.5

3.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为分.

4.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，根据每人每次命中的环数计算得x甲＝x乙＝7.1，s甲2＝3.09，s

常用结论

1.频率分布直方图中的常见结论

（1）众数的估计值为最高矩形底边的中点对应的横坐标；（2）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（3）中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的.

2.平均数、方差的公式推广

若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a，方差为m2s2.

结论运用

1.（多选）如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则下列说法正确的是（）

A.图中的x的值为0.018

B.该班50名学生期中考试数学成绩的众数是75

C.该班50名学生期中考试数学成绩的中位数是72

D.该班50名学生期中考试数学成绩的平均数是75

2.一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是