2023年初三一模分类汇编：几何综合题（解答题25题）-答案.docxVIP

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2023年上海市15区中考数学一模汇编

专题11几何综合题（解答题25题）

一．解答题（共15小题）

1．（2022秋?嘉定区校级期末）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且∠ANE＝∠DCE．

（1）如图，求证：AE是AM和AN的比例中项；

（2）当点N在线段AB的延长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长．

【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；

（2）利用△EDC∽△CAD，得出比例式求得线段DE，AE，利用△AME∽△DEC求得线段AM，利用（1）的结论求得线段AN，则MN＝AN﹣AM．

【解答】（1）证明：∵EM⊥EC，

∴∠AEM+∠DEC＝90°．

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴∠DEC+∠ECD＝90°，

∴∠AEM＝∠DCE，

∵∠ANE＝∠DCE，

∴∠ANE＝∠AEM．

∵∠A＝∠A，

∴△ANE∽△AEM，

∴．

∴AE2＝AM?AN，

∴AE是AM和AN的比例中项；

（2）解：如图，

AC＝＝＝5．

∵AC与NE互相垂直，

∴∠AFE＝90°，

∴∠ANE+∠NAF＝90°．

∵∠NAF+∠CAD＝90°，

∴∠ANE＝∠DAC．

∵∠ANE＝∠DCE，

∴∠DAC＝∠DCE，

∵∠D＝∠D，

∴△EDC∽△CAD，

∴，

∴，

∴DE＝，

∴AE＝AD﹣DE＝．

∵EM⊥EC，

∴∠AEM+∠DEC＝90°．

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠MAE＝∠D＝90°，

∴∠DEC+∠ECD＝90°，

∴∠AEM＝∠DCE，

∴△AME∽△DEC，

∴，

∴，

∴AM＝．

由（1）知：AE2＝AM?AN，

∴AN＝，

∴MN＝AN﹣AM＝＝．

【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

2．（2022秋?浦东新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，点D是斜边AC上的动点，联结BD，EF垂直平分BD交射线BA于点F，交边BC于点E．

（1）如图，当点D是斜边AC上的中点时，求EF的长；

（2）联结DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的长；

（3）当点F在边BA的延长线上，且AF＝2时，求AD的长．

【分析】（1）连接DF，DE，由∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，得AB＝6，BC＝8，而D是AC中点，知BD＝AC＝5，从而DG＝BD＝，证明△DGF∽△ABC∽△EGD，可得＝，＝，解得FG＝，EG＝，即可得EF＝FG+EG＝；

（2）分两种情况：①当△DEC∽ABC时，设CE＝m，则BE＝8﹣m＝DE，有＝，解得m＝；②当△EDC∽△ABC时，设CE＝n，则BE＝DE＝8﹣n，可得＝，解得n＝5，即可得△DEC和△ABC相似，CE的长为或5；

（3）连接DF，过D作DK⊥AB于K，由∠ADK＝∠C，有＝，设AK＝3t，则DK＝4t，在Rt△DKF中，得（4t）2+（3t+2）2＝82，解方程即可得到答案．

【解答】解：（1）连接DF，DE，如图：

∵∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，

∴AB＝6，BC＝8，

∵D是AC中点，

∴BD＝AC＝5，

∵EF是BD的垂直平分线，

∴DG＝BD＝，

∵D是AC中点，∠ABC＝90°，

∴AD＝BD＝CD，

∴∠A＝∠DBA，∠C＝∠DBC，

∵EF是BD的垂直平分线，

∴DF＝BF，DE＝BE，

∴∠FDG＝∠DBA，∠EDG＝∠DBC，

∴∠FDG＝∠A，∠EDG＝∠C，

∵∠DGF＝∠ABC＝90°＝∠EGD，

∴△DGF∽△ABC∽△EGD，

∴＝，＝，

∴＝，＝，

解得FG＝，EG＝，

∴EF＝FG+EG＝；

（2）①当△DEC∽ABC时，如图：

设CE＝m，则BE＝8﹣m＝DE，

∵＝，

∴＝，

解得m＝，

∴CE＝；

②当△EDC∽△ABC时，如图：

设CE＝n，则BE＝DE＝8﹣n，

∵＝，

∴＝，

解得n＝5，

∴CE＝5；

综上所述，△DEC和△ABC相似，CE的长为或5；

（3）连接DF，过D作DK⊥AB于K，如图：

∴DK∥BC，

∴∠ADK＝∠C，

∴tan∠ADK＝tanC＝，

即＝，

设AK＝3t，则DK＝4t，

∵AB＝6，AF＝2，

∴BF＝8＝DF，KF＝AK+AF＝3t+2，

在Rt△DKF中，DK2+KF2＝DF2，

∴（4t）2+（3t+2）2＝82，

解得t＝或t＝（舍去），

∴AD＝＝＝5t＝，

∴AD的长是．

【点评】本题考查直角三角形中的相似问题，涉及勾股定理及应用，垂直平分线等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及应用