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几何中的圆内接多边形

几何中的圆内接多边形

知识点：圆内接多边形

一、定义与性质

1.1圆内接多边形：一个多边形如果所有的顶点都在同一个圆上，那么这个多边形就称为圆内接多边形。

1.2圆内接多边形的性质：

（1）圆内接多边形的所有边都相交于圆心；

（2）圆内接多边形的对角互补，即任意两个圆内接多边形的对角和为180°；

（3）圆内接多边形的外角和为360°；

（4）圆内接多边形的半径相等，即圆心到多边形各顶点的距离相等。

二、圆内接多边形的边与角

2.1圆内接多边形的边：

（1）圆内接多边形的边数称为多边形的边数；

（2）圆内接多边形的边长相等；

（3）圆内接多边形的对边平行且相等。

2.2圆内接多边形的角：

（1）圆内接多边形的角都小于180°；

（2）圆内接多边形的对角互补；

（3）圆内接多边形的外角和为360°；

（4）圆内接多边形的外角等于它所对的内角的一半。

三、圆内接多边形的计算

3.1圆内接多边形的边数计算：

（1）根据多边形的外角和定理，圆内接多边形的外角和为360°，可以求出多边形的边数；

（2）根据多边形的内角和定理，圆内接多边形的内角和为(n-2)×180°，其中n为多边形的边数，可以求出多边形的边数。

3.2圆内接多边形的面积计算：

（1）已知圆的半径R，可以求出圆的面积S=πR2；

（2）已知多边形的边数n，可以求出多边形的周长P，根据周长和圆的半径可以求出多边形的面积S=P×R÷2。

四、圆内接多边形的判定

4.1判定一个多边形是否为圆内接多边形：

（1）判断多边形的所有顶点是否在同一个圆上；

（2）判断多边形的所有边是否相交于圆心；

（3）判断多边形的对角是否互补；

（4）判断多边形的外角和是否为360°；

（5）判断多边形的半径是否相等。

五、圆内接多边形的应用

5.1圆内接多边形在实际生活中的应用：

（1）圆内接多边形可以用来设计图案，如圆内接正多边形可以用来设计圆环图案；

（2）圆内接多边形可以用来计算平面图形的面积，如圆内接四边形可以用来计算圆的内接矩形的面积；

（3）圆内接多边形可以用来解决几何问题，如圆内接三角形的性质可以用来解决三角形的角度问题。

六、圆内接多边形的扩展

6.1圆内接多边形与圆外切多边形的关系：

（1）圆内接多边形与圆外切多边形的边数相等；

（2）圆内接多边形与圆外切多边形的边长相等；

（3）圆内接多边形与圆外切多边形的面积相等。

6.2圆内接多边形的特殊类型：

（1）圆内接正多边形：所有边相等，所有角相等的多边形；

（2）圆内接矩形：对边平行且相等的多边形；

（3）圆内接三角形：三个顶点都在圆上的三角形。

习题及方法：

1.习题：一个圆的内接正多边形的边长是8cm，求这个多边形的面积。

答案：这是一个内接正多边形，所以所有边长相等。已知边长是8cm，可以利用正多边形的面积公式：面积=(边长×边长×√3)/4。代入边长8cm，得到面积=(8×8×√3)/4=16√3cm2。

2.习题：一个圆的内接矩形的长是10cm，宽是6cm，求这个矩形的面积。

答案：这是一个内接矩形，所以对边平行且相等。已知长是10cm，宽是6cm，直接利用矩形的面积公式：面积=长×宽。代入长10cm和宽6cm，得到面积=10×6=60cm2。

3.习题：一个圆的内接三角形的三边长分别是8cm、10cm和12cm，求这个三角形的面积。

答案：这是一个内接三角形，所以三个顶点都在圆上。利用海伦公式：面积=√(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中a、b、c是三角形的三边长，s是半周长(s=(a+b+c)/2)。代入a=8cm、b=10cm、c=12cm，得到s=(8+10+12)/2=15cm，面积=√(15(15-8)(15-10)(15-12))=√(15×7×5×3)=30√7cm2。

4.习题：一个圆的内接四边形的对角和为360°，已知其中一个内角是90°，求这个四边形的面积。

答案：这是一个内接四边形，所以对角互补。已知一个内角是90°，那么另一个内角也是90°。由于四边形的内角和为360°，所以其他两个内角和为180°。这个四边形可以分成两个相等的直角三角形，每个三角形的面积为(1/2)×底×高。由于底和高相等，所以每个三角形的面积为(1/2)×(180°/2)×(180°/2)=1/2×90°×90°=40.5°2。因此，这个四边形的面积为2×40.5°2=81°2。

5.习题：一个圆的内接五边形的外角和为360°，已知其中一个外角是90°，求这个五边形的面积。

答案：这是一个内接五边形，所以外角和为360°。已知一个外角是90