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人教版八年级上阶段拔尖专训6全等三角形难点模型归类
“一线三等角”模型【高分秘籍】【条件】已知点C在线段上,∠B=∠ACE=∠D,BC
=DE.【结论】△ABC≌△CDE.
1.[母题·2024·南昌东湖区期中教材P56复习题T9]已知:在
△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的
一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,
请说明理由;123
【解】∵BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠BDA=∠AEC
=90°.∴∠ABD+∠BAD=90°.∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠EAC=90°.∴∠ABD=∠EAC.
在△ABD和△CAE中,∵∠ADB=∠CEA,
∠ABD=∠CAE,AB=AC,∴△ABD≌△CAE(AAS).∴AD=CE,BD=AE.∵AE=AD+DE,∴BD=DE+CE.123
(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD,DE,CE有
何数量关系?请说明理由.123
【解】BD=DE-CE.理由如下:同(1)可得△ABD
≌△CAE(AAS).∴AD=CE,BD=AE.∵AE=DE-AD,∴BD=DE-CE.123
【针对性练习1】[2023绵阳游仙区月考](1)如图①,已知:在
△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,
BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D和点E,求
证:△ABD≌△CAE,DE=BD+CE;123
【证明】∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=90°.∴∠BAD+∠ABD=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∴∠CAE=∠ABD.在△ADB和△CEA中,∵∠ABD=∠CAE,∠BDA=∠AEC,AB=AC,
∴△ABD≌△CAE(AAS).∴AE=BD,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.123
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,
D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC
=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=
BD+CE是否仍然成立?若成立,请你给出证明;若不
成立,请说明理由.123
【解】成立.证明如下:∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α.∴∠CAE=∠ABD.在△ADB和△CEA中,∵∠ABD
=∠CAE,∠BDA=∠AEC,AB=CA,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴AE=BD,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.123
【针对性练习2】CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA
=CB.E,F分别是直线CD上的两点,且∠BEC=∠CFA
=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,
请解决下面两个问题:123
①如图①,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE?
CF;EF|BE-AF|(填“>”“<”或
“=”);==123
②如图②,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α
与∠BCA关系的条件:,使①
中的两个结论仍然成立,并给出证明;∠α+∠BCA=180°123
【解】②证明:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°
-∠BEC=180°-∠α.∵∠BCA=180°-∠α,
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA.又∵∠ACF+∠BCE=
∠BC
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