高中数学讲义100微专题086事件的关系与概率运算.docVIP

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微专题86事务的关系与概率运算

一、基础学问

1、事务的分类与概率：

（1）必定事务：肯定会发生的事务，用表示，必定事务发生的概率为

（2）不行能事务：肯定不会发生的事务，用表示，不行能事务发生的概率为

（3）随机事务：可能发生也可能不发生的事务，用字母进行表示，随机事务的概率

2、事务的交并运算：

（1）交事务：若事务发生当且仅当事务与事务同时发生，则称事务为事务与事务的交事务，记为，简记为

多个事务的交事务：：事务同时发生

（2）并事务：若事务发生当且仅当事务与事务中至少一个发生（即发生或发生），则称事务为事务与事务的并事务，记为

多个事务的并事务：：事务中至少一个发生

3、互斥事务与概率的加法公式：

（1）互斥事务：若事务与事务的交事务为不行能事务，则称互斥，即事务与事务不行能同时发生。例如：投掷一枚匀称的骰子，设事务“出现1点”为事务，“出现3点”为事务，则两者不行能同时发生，所以与互斥

（2）若一项试验有个基本领件：，则每做一次试验只能产生其中一个基本领件，所以之间均不行能同时发生，从而两两互斥

（3）概率的加法公式（用于计算并事务）：若互斥，则有

例如在上面的例子中，事务为“出现1点或出现3点”由匀称的骰子可得，所以依据加法公式可得：

（4）对立事务：若事务与事务的交事务为不行能事务，并事务为必定事务，则称事务为事务的对立事务，记为，也是我们常说的事务的“对立面”，对立事务概率公式：，关于对立事务有几点说明：

①公式的证明：因为对立，所以，即互斥，而，所以，因为，从而

②此公式也供应了求概率的一种思路：即假如干脆求事务的概率所探讨的状况较多时，可以考虑先求其对立事务的概率，再利用公式求解

③对立事务的相互性：事务为事务的对立事务，同时事务也为事务的对立事务

④对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。由对立事务的定义可知：对立，则肯定互斥；反过来，假如互斥，则不肯定对立（因为可能不是必定事务）

4、独立事务与概率的乘法公式：

（1）独立事务：假如事务（或）发生与否不影响事务（或）发生的概率，则称事务与事务相互独立。例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事务，“其次个骰子的点数是2”为事务，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以独立

（2）若独立，则与，与，与也相互独立

（3）概率的乘法公式：若事务独立，则同时发生的概率，比如在上面那个例子中，，设“第一个骰子点数为1，且其次个骰子点数为2”为事务，则。

（4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果。设其中一个结果为事务（则另一个结果为），已知事务发生的概率为，将该试验重复进行次（每次试验结果互不影响），则在次中事务恰好发生次的概率为

①公式的说明：以“连续投掷次硬币，每次正面对上的概率为”为例，设为“第次正面对上”，由匀称的硬币可知，设为“恰好2次正面对上”，则有：

而

②的意义：是指在次试验中事务在哪次发生的状况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面对上”，其中代表了符合条件的不同状况总数共3种

5、条件概率及其乘法公式：

（1）条件概率：

（2）乘法公式：设事务，则同时发生的概率

（3）计算条件概率的两种方法：（以计算为例）

①计算出事务发生的概率和同时发生的概率，再利用即可计算

②依据条件概率的意义：即在条件下的概率为事务发生后，事务发生的概率。所以以事务发生后的事实为基础，干脆计算事务发生的概率

例：已知6张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中奖的状况下，乙中奖的概率。

解：方法一：依据公式计算。设事务为“甲未中奖”，事务为“乙中奖”，所以可得：，事务为“甲未中奖且乙中奖”，则。所以

方法二：依据条件概率实际意义：考虑甲在抽取彩票后没有中奖，则留给乙的状况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为

6、两种乘法公式的联系：

独立事务的交事务概率：

含条件概率的交事务概率：

通过公式不难看出，交事务的概率计算与乘法相关，且事务通常存在顺承的关系，即一个事务发生在另一事务之后。所以通过公式可得出这样的结论：交事务概率可通过乘法进行计算，假如两个事务相互独立，则干脆作概率的乘法，假如两个事务相互影响，则依据题意分出事务发生的先后，用先发生事务的概率乘以事务发生后其次个事务的概率（即条件概率）

二、典型例题：

例1：从这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事务中，是对立事务的是（）

A.①B.②④C.③