高中数学一轮复习课件9.6.pptx

第六节

利用空间向量证明空间中的位置关系

(全国卷5年12考);;【知识梳理】

1.直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所

在直线与直线l_____或_____,则称此向量a为直线l的方

向向量.;(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的_____向量a,则

向量a叫做平面α的法向量.;2.空间位置关系的向量表示;【常用结论】

1.确定平面的法向量

(1)直接法:观察是否有垂直于平面的法向量,若有可直

接确定.;(2)待定系数法:取平面的两条相交向量a,b,设平面的

法向量为n=(x,y,z),由解方程组求得.

2.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.;【基础自测】

题组一:走出误区

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,

① ();②=0; ()

③向量与向量的夹角是60°. ();提示:①√.

故①正确;

②√.,因为AB1⊥A1C,故②正确;

③×.A1B与AD1两异面直线所成角为60°,但

的夹角为120°,故③不正确.;2.直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量为

n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x的值为 ()

A.-2B.-C.D.±;【解析】选D.线面平行时,直线的方向向量垂直于平

面的法向量,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得

x=±.;3.已知直线l的方向向量a,平面α的法向量μ,若

a=(1,1,1),μ=(-1,0,1),则直线l与平面α的位置关系

是 ()

A.垂直

B.平行;C.相交但不垂直

D.直线l在平面α内或直线l与平面α平行

;【解析】选D.因为a·μ=-1+0+1=0,即a⊥μ,所以直线l在平面α内或直线l与平面α平行.;题组二:走进教材

1.(选修2-1P104T2改编)设μ,v分别是平面α,β的法向量,μ=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,α与β的位置关系为________;当v=(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为________.?;【解析】当v=(3,-2,2)时,μ·v=-2×3+2×(-2)+5×2=0,所以α⊥β,

当v=(4,-4,-10)时,v=-2μ,所以α∥β.

答案:α⊥βα∥β;2.(选修2-1P104T2改编)已知平面α的法向量为

n=(2,-2,4),=(-3,1,2),点A不在α内,则直线AB

与平面的位置关系为 ()

A.AB⊥α B.AB?α

C.AB与α相交不垂直 D.AB∥α;【解析】选D.因为n·=(2,-2,4)·(-3,1,2)=

-6-2+8=0,所以n⊥,

而点A不在α内,故AB∥α.;3.(选修2-1P112T6改编)如图,正方形AA1D1D与矩形ABCD

所在平面互相垂直,AB=2AD=2.

(1)若点E为AB的中点,求证:BD1∥平面A1DE.

(2)在线段AB上是否存在点E,使二面角D1-EC-D的大小

为.若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.;【解析】(1)四边形ADD1A1为正方形,连接AD1,A1D∩AD1=F,则F是AD1的中点,又因为点E为AB的中点,连接EF,则EF为△ABD1的中位线,所以EF∥BD1.

又因为BD1?平面A1DE,EF?平面A1DE,

所以BD1∥平面A1DE.;(2)根据题意得DD1⊥DA,D1D⊥DC,AD⊥DC,以D为坐标原

点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角

坐标系D-xyz,则D(0,0,0),

D1(0,0,1),C(0,2,0).

设满足条件的点E存在,

令E(1,y0,0)(0≤y0≤2),;=(-1,2-y0,0),=(0,2,-1),

设n1=(x1,y1,z1)是平面D1EC的法向量,

则令y1=1,

则平面D1EC的法向量为n1=(2-y0,1,2),由题知平面

DEC的一个法向量n2=(0,0,1).;由二面角D1-EC-D的大小为得

解得y0=2-∈[0,2],

所以线段AB上存在点E,

使二面角D1-EC-D的大小为,此时AE=2-.;考点一利用空间向量证明空间的平行问题

【题组练透】

1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分

别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C