《微积分（第4版）》 课件 第8章 无穷级数.ppt

定义级数，称为f(x)在处的泰勒级数.级数称为f(x)的在x=0处的麦克劳林级数.定理设f(x)在包含点在内的某区间内有任意阶导数.f(x)在点处的泰勒级数在该区间内收敛于f(x)的充分必要条件是在该区间内函数f(x)的泰勒级数收敛于f(x)也称为f(x)可以展开成泰勒级数.泰勒级数展开的唯一性设f(x)在的某对称区间内可以展开成的幂级数将上式逐阶求导，有这样就证明了下述定理：以代入上式，有定理(唯一性定理)若f(x)在某区间内可以展开为的幂级数则此幂级数必为其泰勒级数，也即其系数必定为泰勒系数3.写出f(x)在处的泰勒级数1.求出f(x)的各阶导数2.计算4.求出上述泰勒级数的收敛区间(－R,R)，5.在收敛区间内证明6.写出展开式三、将函数展开成幂级数1.直接展开法用展开定理直接将f(x)展开为泰勒级数的方法为直接展开法，其步骤为其收敛区间为.例将展开为马克劳林级数.解求出的n阶导数.因此故函数的马克劳林级数为收敛半径为由比值法可知正项级数收敛.于是，有对任取定的x，则对于任何介于0与x之间的，有所以，由收敛必要条件知所以有展开式例将f(x)=sinx在x=0处展开为马克劳林级数.解故马克劳林级数为其收敛区间为，因为（位于0与x之间）.因此，故有由于为收敛级数，其通项的极限为零，或写为所谓间接展开法,就是利用已知的幂级数展开式,利用幂级数在其收敛区间内的四则运算、分析运算性质,即幂级数逐项加、减,逐项求导、逐项积分等运算,将所给函数展开为泰勒级数.2.间接展开法例将f(x)=cosx展开为麦克劳林级数.解由两边求导得例将f(x)=ln(1+x)展开为马克劳林级数.解因为上式两端积分得即所以例将展开为马克劳林级数.解因为于是所以积分得常用的展开式公式将函数间接展开成幂级数，通常还使用下述变换法若函数f(x)的幂级数展开为则有例将函数展开成幂级数.解由将x换成可得函数的幂级数展开式.例求在处的展开式.解令，则.由把上式中t的改写为，即得第五节幂级数的应用一、函数值的近似计算二、求积分的近似值三、其它应用第五节幂级数的应用一、函数值的近似值计算用幂级数可以表示函数,因此幂级数给函数的运算带来了方便，也使得幂级数有着广泛的应用，运用幂级数可以计算函数值的近似值、求极限、求定积分等.利用函数的泰勒级数展开式可以计算函数的近似值，并对计算的精确度给出可靠的估计.例计算e的近似值，精确到小数四位.解因为指数函数的展开式为令x=1，得欲精确到小数四位，只需取余项.取只需取n=8，则有，于是例计算的近似值，精确到小数四位.解利用幂级数展开式得两端积分二、求积分的近似值上式右端为交错级数，由于，可取其前三项即可精确到小数四位，即三、利用幂级数的展开式可以求极限例求极限解由幂级数展开得将其代入所求极限有四、利用幂级数的展开式可以证明公式例证明欧拉公式证在指数函数的展开式取z=ix得