《微积分（第4版）》 课件 第3章 导数与微分.ppt

例设某商品的市场需求函数为（p单位为百元，Q单位为台），求（1）需求价格弹性函数（2）并说明其实际意义.解（1）因为，所以（2）所以，当价格p从9（百元/台）上涨时，该商品的需求量在台的基础上下降0.25%例求曲线在t=e处的切线方程.所以切线斜率当t=e时，x=e，y=e.解故切线方程为一、微分概念的提出二、微分的概念三、微分的几何意义四、微分公式与运算法则五、用微分作近似计算第五节微分第五节微分问题导言——研究函数改变量的意义函数改变量对于研究函数的局部特征,函数在此点周围的性态具有重要意义.微积分的许多重要概念都与其密切相关.连续概念导数概念对于函数改变量的研究,不仅要考虑其极限特征,还要考虑其结构特征.微分概念就是由此提出的.解设此薄板的边长为x,面积为,则边长由变到面积改变量为一、微分概念的提出例正方形的金属薄板受热后边长由变到试确定其面积改变量.其结构特征分析：的线性主部高阶无穷小当很小时可由线性主部代替改变量例自由落体运动.求当时间由变到时路程的改变量.解当时间由变到时,路程改变量为当很小时可由线性部分代替改变量（以匀速代替变速）问题函数改变量主要部分具体实例面积问题落体运动概括函数将上述讨论概括如下：由此引出微分概念.二、微分的概念定义设y=f(x)在点的某邻域内有定义，属于该邻域.若其中A与无关，而是关于的高阶无穷小，则称y=f(x)在可微，而称为y=f(x)在点处的微分，记为问题:函数改变量在什么条件下可以表达成且当很小时设在处可导,则有由极限性质，得即反之,若则所以定理y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导,且有.由于，即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比，因此导数也称微商.(1)若则即规定则微分可以表达为微分概念说明：(2)函数的微分与导数是等价的.(3)当很小时可以用微分dy作为函数改变量的近似代替量.三、微分的几何意义微分代表曲线y=f(x)在点处的切线的纵坐标的增量.设函数的图形是一条曲线，是曲线上点处的切线，设的倾角为，切线的斜率为.当自变量x有改变量时，得到曲线上另一点，x0x0+?xyOxL?xdyy=f(x)MNQP四、微分的基本公式五、微分的运算法则定理设u=u(x)，v=v(x)可微，则有复合函数微分运算法则若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，总有，这就是微分形式的不变性.利用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分.设y=f(u),u=g(x)都可微，则复合函数y=f(g(x))也可微，此时有求函数y=f(x)微分的基本方法：1.利用导数求微分①求导数②写微分２.利用微分基本公式与微分运算法则求微分例设解例设y=xtanx－sinx，求dy.解也可以直接用公式求微分.例设解如果不引入中间变量u，则可例设解例设解例设y=y(x)由确定求.解方程两边求微分，得解得解面积增量与微分分别为六、微分在近似计算中的应用(1)计算函数改变量的近似值由微分概念可得当很小时，函数改变量的近似计算公式