高中数学优质课公开课3.2一般形式的柯西不等式 .pdf

二一般形式的柯西不等式

【自主预习】

1.三维形式的柯西不等式

22222

设a,a,a,b,b,b是实数,则(a+a+a)(b+b+

12312312312

2

b)≥_______________,当且仅当_____________或存

3

(ab+ab+ab)2b0(i1,2,3)

112233i

在一个数k,使得akb(i1,2,3)时等号成立.

ii

2.一般形式的柯西不等式

设a,a,a,…,a,b,b,b,…,b是实数,

123n123n

222222

则(a+a+…+a)(b+b+…+b)

12n12n

≥__________________,当且仅当________________

(ab+ab+…+ab)2b0(i1,2,…,n)

1122nni

或存在一个数k,使得a___(i1,2,…,n)时,等号成立.

i

kb

i

【即时小测】

222222

1.若a+a+a4,b+b+b9,则ab+ab+ab的最

123123112233

大值为()

A.4B.6C.9D.3

【解析】选B.根据柯西不等式,知(ab+ab+ab)2

112233

222222

≤(a+a+a)(b+b+b)36，所以-6≤ab+ab

1231231122

+ab≤6.

33

222

2.已知x,y,z,a∈R,且x+4y+z6,则使不等式

x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为()

A.6B.C.8D.

6688

222

【解析】选B.由x+4y+z6,利用柯西不等式可得

2222222

(x+2y+3z)≤(x+4y+z)(1+1+3)66,故有

x+2y+3z≤,当且