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2024北京延庆高二(下)期中
数学
本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.等比数列,,,,项数为()
A. B. C. D.
2.由数字,,,构成的三位数有()
A.个 B.个 C.个 D.个
3.在等差数列中,,则()
A. B. C. D.
4.在展开式中二项式系数最大的项是()
A.第3项和第4项 B.第4项和第5项 C.第3项 D.第4项
5.随机抛掷一颗均匀的骰子,则所得骰子朝上的点数的数学期望是()
A. B. C. D.
6.盒子里有5个球,其中有2个白球和3个红球,每次从中抽出1个球,抽出的球不再放回,则在第1次抽到白球的条件下,第2次抽到红球的概率为()
A. B. C. D.
7.若,且,则实数值为()
A. B. C.或 D.或
8.设随机变量分布列为
则的值为()
A. B. C. D.
9.设是等差数列,且公差不为零,其前项和为.则“,”是“为递增数列”的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10.已知数列的通项公式.设,,若,则()
A.6 B.7 C.8 D.9
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11若,则_________.(用数字作答)
12.已知随机变量,则=_________,=_________.
13.学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教,设抽取的人中女教师的人数为,则=_________.
14.中国民族五声调式音阶的各音依次为:宫、商、角、徵、羽,如果用这五个音,排成一个没有重复音的五音音列,且商、角不相邻,徵位于羽的左侧,则可排成的不同音列有_________种.(用数字作答)
15.已知数列各项均为正数,其前n项和满足.给出下列四个结论:
①的第2项小于3;②为等比数列;
③为递减数列;④中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.在的展开式中.
(1)求第项的二项式系数;
(2)求的系数;
(3)求第项.
17.某中学有初中学生1800人,高中学生1200人,为了解学生本学期课外阅读时间,现采用分成抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组,再将每组学生的阅读时间(单位:小时)分为5组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)写出a值;
(2)试估计该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数;
(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人,并用X表示其中初中生的人数,求X的分布列和数学期望.
18.甲、乙两人练习投篮,每次投篮命中的概率分别为,,假设两人每次投篮是否命中相互之间没有影响.
(1)如果甲、乙两人各投篮次,求两人中至少有人投篮命中的概率;
(2)如果甲投篮次,求甲至多有次投篮命中的概率;
(3)如果乙投篮次,求乙投篮命中几个球的概率最大?直接写出结论.
19.已知为数列的前项和,满足,.数列是等差数列,且.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前项和;
(3)设,且,求.
20.已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点.
(1)求椭圆的方程;
(2)为椭圆的右顶点,过点的直线交椭圆于点,过点作轴的垂线分别与直线交于点,求的值.
21.已知数列:,,…,满足:①;②.记.
(1)直接写出的所有可能值;
(2)证明:的充要条件是;
(3)若,求的所有可能值的和.
2024北京延庆高二(下)期中
数学
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.等比数列,,,,的项数为()
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据规律即可求解.
【详解】,,,,的项数为,
故选:C
2.由数字,,,构成的三位数有()
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】A
【分析】利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】百位有
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