高中数学期末备考微专题55讲立体几何01立体图形的展开与折叠问题汇编含解析.docVIP

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立体图形的绽开与折叠问题汇编

立体图形的绽开

立体图形的绽开是指将空间图形沿某一条棱长绽开为平面图形，探讨其面积或者距离的最小值，把几何体中的最短路途问题利用绽开图转化为平面上两点距离.

（2017湖北预赛）

如图，直棱柱中，，是上一点，求的最小值.

2.如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上的一动点，的最小值为，求该正四面体的外接球表面积.

3．如图：正三棱锥中，，侧棱，平行于过点的截面，则平面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（）

A． B． C． D．

解析：

如图所示：沿着侧棱把正三棱锥绽开在一个平面内，则即为截面周长的最小值，且，在中，由余弦定理得：

，.故选：B.

二．平面图形的折叠

4．如图所示，是等腰直角三角形，，在中，且．将沿边翻折，设点在平面上的射影为点，若，那么（）

A．平面平面 B．平面平面

C． D．

解析：翻折后图形如下：

因为，是等腰直角三角形且，所以点M是BC边上的中点，

因为点在平面上的射影为点，所以平面，又因为平面，所以，又因为，所以，又，AM，平面，所以平面，又平面，所以.故选：C.

5.如图，在中，，在边上取一点（不含），将沿线段折起，得到，当平面垂直于平面时，则到平面距离的最大值为_______.

6．如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，、、、为圆上点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得、、、重合，得到四棱锥.当该四棱锥体积取得最大值时，正方形的边长为______.

解：连接交CB于点M，则⊥CB，点M为CB的中点，连接OC，

△OCM为直角三角形，设正方形的边长为2x，则OM＝x，由圆的半径为4，则＝4?x，设点，，，重合于点P，则PM＝＝4?x＞x则x＜2，高，四棱锥体积，

设，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，V取得最大值，此时，．即正方形ABCD的边长为时，四棱锥体积取得最大值．故答案为：

练习题

1．在三棱锥中，，在底面上的投影为的中点，.有下列结论：

①三棱锥的三条侧棱长均相等；②的取值范围是；

③若三棱锥的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为；

④若，是线段上一动点，则的最小值为.

其中正确结论的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

2．如图，在正三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，PA=PB=PC=2，一只虫子从A点动身，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（）

A． B． C． D．

【答案】D

3．如图，空间四边形中，平面，为1的等边三角形，，，为棱AC上的一个动点，则的最小值为_____________

【答案】

4.如图，在三棱锥P–ABC的平面绽开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.