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第一节第2课时球的切、接问题
1.常规解法:球的直径或半径的求法
(1)正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径
(2)若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为,则有.
(3)确定球心是关键:球心在过底面外心且垂直于底面的直线上.
2.几个与球有关的切、接常用结论
(1)设正方体的棱长为a,球的半径为R.
①若球为正方体的外接球,则2R=3a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=2a
聚焦考点课堂演练
聚焦考点课堂演练
考点1几何体的外接球
考点1几何体的外接球
性
考向1柱体的外接球
【例1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=1,AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积为.
方法技巧
1.求圆柱的外接球,可以先作该圆柱的轴截面,轴截面对角线即为外接球的直径.
2.求直棱柱的外接球,可以先求其外接圆柱体,再利用该圆柱体的轴截面求半径即可.
考向2锥体的外接球
【例2】(1)已知三棱锥P-ABC,其中PA⊥平面ABC,∠BAC=120°,PA=AB=AC=2,则该三棱锥外接球的表面积为()
A.12π B.16π
C.20π D.24π
(2)已知球O是圆锥PO1的外接球,圆锥PO1的母线长是底面半径的3倍,且球O的表面积为81π8,则圆锥PO1的侧面积为
方法技巧
1.求圆锥的外接球,可以先作其轴截面,其为三角形,该三角形中垂线的交点即为球心.
2.求直棱锥的外接球,可以先求其外接直棱柱,再将直外接圆柱作出,再利用该圆柱体的轴截面求半径即可.
3.求正棱锥的外接球,可以先求其外接圆锥,再利用该圆锥的轴截面求半径即可.
考向3可补成规则几何体的外接球
【例3】(1)已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上,AB,AC,AD两两垂直,且AB=3,AC=2,AD=3,则球O的表面积为;
(2)在三棱锥P-BCD中,BC⊥CD,PB⊥底面BCD,设BC=1,PB=CD=2,则该三棱锥的外接球的体积为.
方法技巧
1.若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如图①所示.
2.若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图②所示.
3.正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=PA2,如图③所示
4.若三棱锥的对棱两两相等,则可将其放入某个长方体内,如图④所示.
跟踪训练
1.如图,某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成,且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上,若圆柱的高为2,则圆锥的侧面积为()
A.26π B.46π
C.16π D.16
2.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为33和43,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()
A.100π B.128π
C.144π D.192π
3.已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=.
考点2
考点2几何体的内切球
性
【例4】(1)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=BC=4,AB=3,AB⊥BC,若三棱锥P-ABC有一个内切球O,则球O的体积为()
A.9π2
C.9π16
(2)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.
方法技巧
空间几何体的内切球问题,一是找球心,球心到切点的距离相等且为球的半径,作出截面,在截面中求半径;二是利用等体积法直接求内切球的半径.
跟踪训练
1.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为4π3,那么这个正三棱柱的体积是(
A.123 B.23
C.63 D.483
2.六氟化硫,化学式为SF6,在常温常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫的分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体),如图所示,若此正八面体的棱长为2,则它的内切球的表面积为()
A.42π3
C.8π3
第2课时球的切、接问题
课后分层跟踪巩固
基础达标A
基础达标A
1.正方体的外接球与内切球的表面积之比为()
A.3 B.33
C.3 D.1
2.一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上,若此球的表面积为20π,则该四棱柱的高为()
A.3 B.2
C.32 D.
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