高中数学竞赛专题大全竞赛专题12复数50题竞赛真题强化训练含解析.docxVIP

Page28

竞赛专题12复数

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1．（2024·全国·高三竞赛）已知z为复数，且关于x的方程有实数根，则的最小值为__________．

【答案】1

【解析】

【详解】

解析：x为实数根，

若，则，冲突；故，

故，于是我们可以得

，

当且仅当时等号成立，故所求的最小值为1．

故答案为：1.

2．（2024·辽宁·高三竞赛）设、b均为实数，复数与的模长相等，且为纯虚数，则+b=_____.

【答案】

【解析】

【详解】

由题设知，且为纯虚数，故.因此或解得或，故.

故答案为

3．（2024·江苏·高三竞赛）已知复数满意，则的最大值为__________．

【答案】3

【解析】

【详解】

解析：由题意可得

，

则表示复平面上点到的距离．

如图所示，，由此可得．故的最大值为3．

故答案为：3.

4．（2024·山东·高三竞赛）若复数满意，则的最小值为______．

【答案】1

【解析】

【详解】

设，，，则点的轨迹为线段．

因此为原点到的距离，即．

5．（2024·甘肃·高三竞赛）在复平面内，复数对应的点分别为．若，，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【详解】

因为，所以，

因为，所以，

从而

6．（2024·福建·高三竞赛）设复数满意，则的最大值为______．（为虚数单位，为复数的共轭复数）

【答案】6???????

【解析】

【详解】

设，

则，，，

由，知，．

所以，．所以．

当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为6．

7．（2024·全国·高三竞赛）已知定义在复数集上的函数（p、q为复数）.若与均为实数，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【详解】

设，.

由，为实数

知，.

则.

故当（即，）时，取最小值.

8．（2024·全国·高三竞赛）设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为，则复数所对应的不同的点的个数是_______________．

【答案】4

【解析】

【详解】

因为，故考虑的不同个数.

由，则，可知只有4个取值，而的取值不会增加，故应为4个不同的点的个数．

故答案为：4.

9．（2024·全国·高三竞赛）设，其中为虚数单位，.设，则的实部为___________.

【答案】

【解析】

【详解】

，故，

故，

故，从而实部为.

故答案为：.

10．（2024·全国·高三竞赛）设复数??满意，则___________.

【答案】2

【解析】

【详解】

解析：.

故答案为：2.

11．（2024·浙江·高三竞赛）复数，满意，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

如图所示，设在复平面内对应的点分别为,

由已知得,

由余弦定理得向量所成的角为,

不妨设,

,

,,

,,

,

.

故答案为：.

12．（2024·浙江·高二竞赛）设复数的实虚部，所形成的点在椭圆上.若为实数，则复数______.

【答案】或.

【解析】

【分析】

【详解】

由，所以，则，

所以或.

故答案为：或.

13．（2024·全国·高三竞赛）已知，则的取值范围为___________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

设，则：

．

故，解得，即．

故答案为：.

14．（2024·全国·高三竞赛）已知复数（i虚数单位），则______________．

【答案】36

【解析】

【分析】

【详解】

由已知，故，再结合，及，知所求式子为．

又，是8次单位根．

当时，．

当时，．

当时，，

所以．

故答案为：36.

15．（2024·全国·高三竞赛）已知复数a、b、c满意则_________．

【答案】i

【解析】

【分析】

【详解】

由题意有，

三式相加有，代入第一个式中有，

与联立，即有a、c均不为0且，

故有，所以或i．

当时，有，此时原式为i．

当时，有，此时原式为i．

当时，有，又，所以，得，冲突．

综上所述，原式仅有i一个值．

故答案为：i.

16．（2024·全国·高三竞赛）若复数满意条件，则______．

【答案】0

【解析】

【分析】

【详解】

对取共轭，．

再与相加，并结合得：

．

若，则所求式为0．否则，．

则，从而．代入条件二，得．

即．

故是纯虚数，有．

从而，所求式也为0．

故答案为：0.

17．（2024·全国·高三竞赛）若复数满意，则的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

.

设，则：

.

若，则，而冲突.

同理，亦不行能，所以.

设，则:

，

所求取值范围是.

故答案为：.

18．（2024·全国·高三竞赛）若非零复数x?y满意，则的值是________.

【答案】1

【解析】

【分析】

【详解】

得或.

（1）当时，

原式

.

（2）当时，同理可得原式.