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2024年人教版数学五升六暑假衔接培优精讲练过关讲义
(知识梳理+易错精讲+真题拔高卷)
第5讲数学广角—找次品
知识点01:找次品的基本概念
找次品问题是指在一堆外观相同的物品中,通过有限次称重找出异常的一个(次品),这个次品在重量上与
正品不同,可能偏重或偏轻。
知识点02:找次品的方法和步骤
分组策略:首先,把所有待测物品尽可能平均地分成3份。如果不能被3整除,则根据余数进行适当调整:
如果余数为1,将多余的那个物品放入其中一份中。
如果余数为2,则将这两个多余的物品分别放入前两份中。
称重策略:接下来,利用天平进行称重。先将两组数量相同的物品进行称重。
如果天平平衡,说明次品在未被称重的那组物品中。
如果天平不平衡,说明次品在偏重或偏轻的那组物品中。
递归查找:确定含有次品的组之后,重复上述分组和称重步骤,直至找到次品为止。
知识点03:找次品的规律与特点
最少称重次数:通过上述方法,可以保证用最少的称重次数找出次品。称n次最多可以分辨出3^n个物品
中的一个次品。
效率优化:将物品分成3份而不是2份进行称重,是因为这种方法可以减少称重次数,提高找次品的效率。
知识点04:实际应用与拓展
问题解决:学生应能够运用找次品的方法解决实际问题,如在一堆外观相同的零件中找出一个质量不合格
的次品。
思维拓展:找次品问题不仅限于数学课本中的理想情况,还可以拓展到现实生活中的各种应用场景,如质
量检测、物品分类等。
易错知识点01:对题目理解不清
学生可能没有完全理解题目的要求,例如,次品可能是更重、更轻或是不同颜色等。
易错点知识点02:未考虑所有可能性
在称量过程中,学生可能只考虑了部分可能性,而忽略了其他情况。
易错点知识点03:策略选择不当
在寻找次品时,学生可能选择了不合适的策略,导致称量次数过多或无法准确找出次品。
易错题目及解答过程
题目:有12个外观相同的乒乓球,其中11个质量相同,另一个稍轻一些。用一架无砝码的天平至少称几
次能保证找出这个次品乒乓球?
易错点分析:
学生可能直接尝试将12个乒乓球分成两份进行称量,但这样至少需要称3次才能确定哪个是次品。
学生可能没有意识到可以将乒乓球分成三份进行称量,这样可以更快地找出次品。
解答过程:
第一次称量:将12个乒乓球分成三组,每组4个。选择两组进行称量。
情况A:如果天平平衡,说明这8个乒乓球都是正常的,次品乒乓球一定在未被称量的那组4个里。
情况B:如果天平不平衡,说明次品乒乓球一定在较轻的那组4个里。
第二次称量:从上面确定的那组4个乒乓球中再分成两组,每组2个,进行称量。
情况A:如果天平平衡,说明次品乒乓球在未被称量的那组2个里。
情况B:如果天平不平衡,说明次品乒乓球就是较轻的那个。
第三次称量(如果需要):如果第二次称量后确定次品在剩下的2个乒乓球中,将这两个乒乓球放在天平两
端进行称量,较轻的那个就是次品。
结论:通过上述策略,我们至少需要称2次(在情况B下可能只需要1次,但为了确保找出次品,我们按
最坏情况计算),就能保证找出次品乒乓球。
检测时间:90分钟试题满分:100分难度系数:0.46(较难)
一.慎重选择(共5小题,满分10分,每小题2分)
1.(2分)(2022秋•顺庆区期末)小芸从37袋食盐中找出一袋次品(次品轻一些,其余的质量相同),保
证3次能找出次品的最合理的分组方法是()
A.37(15,15,7)B.37(10,20,7)
C.37(12,12,13)
试题思路分析:天平找次品,如果待测物品在3个或3个以上,其中1个比正品轻,首先要把待测
物品分成3份,能平均分的要平均分,不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差1个,这样
可以保证找出次品所称的次数最少;据此解答。
详细规范解答:解:小芸从37袋食盐中找出一袋次品(次品轻一些,其余的质量相同),保证3次
能找出次品的最合理的分组方法是(12,12,13)。
故选:C。
考察易错点与重难点:解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组,逐次称量,即可找出次品。
2.(2分)(2023春•盘龙区期末)有8瓶同样的钙片,其中1瓶被吃了3片。要找出这瓶比较轻的钙片,
如果用天平称,下面()种分法比较合理。
A.B.
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