斐波那契数列通项公式的推导方法课件.pptVIP

利用转化思想求斐波那契数列的通项公式象山县第三中学谢刚伟

一、与斐波那契有关的事实

1、斐波那契和“兔子问题”

意大利数学家(约1170-约1250年)，12、13世纪欧洲数学界的代表人物，生于比萨。他的书保存下来的共有5种。最重要的是《算盘书》（1202年完成，1228年修订），其中最耐人寻味的是，这本书出现了中国《孙子算经》中的不定方程解法。另一个「兔子问题」也引起了后人的极大兴趣。这数列与后来的「优选法」有密切关系。

「兔子问题」：假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生殖能力．问从一对大兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？这就产生了斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…

2、介绍斐波那契数列的应用和植物生长的有趣现象

它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用。数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出树木生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新技，然后休息一年．再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝．那么第1年它只有主干1枝，第2年有2枝，第3年有3枝，第4年有5枝，第5年有8枝等等.每年的分枝数顺次组成的数列符合斐波那契数列（除第一项外）植物生的螺旋

3、概括斐波那契数列的特征，写出递推关系

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…其规律是从第三项起，每一项都是前两项的和．用递推公式表达就是：

4、斐波那契数列通项公式的发现与证明

1680年意大利──法国学者卡西尼发现该数列的某个重要关系式。1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称为之为比内公式。1963年美国还创刊《斐波那契季刊》来专门研究斐波那契数列。

二、设计问题，发现公式的推导方法

问题一已知数列{}满足求数列{}的通项公式。问题二已知数列{}满足数列{}满足：=+1；（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{}的通项公式。

问题一的解答思路一：=3×1+2=5，=3×5+2=17，=3×17+2=53，…无法继续下去。

概括出这类数列的一般特征和解法：

思路一：用计算、猜想、证明的方法(略)

三、斐波那契数列通项公式的推导方法

解法推广：

四、课堂总结

1、重要的数学思想方法①待定系数法、构造法

2、值得借鉴的经验