第1课时　变量间的相关关系及回归模型答案.docx

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第三节成对数据的统计分析

第1课时变量间的相关关系及回归模型

课程目标

课程目标

1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.

2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.

3.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.

4.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.

基础知识

基础知识

1.变量的相关关系

（1）相关关系：若两个变量之间有关系，但又不是函数关系，这种关系称为相关关系；

（2）相关关系的分类：①从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量正相关；

②当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关；

提醒注意相关关系与函数关系的区别：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系.（3）线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，就称这两个变量线性相关.

2.样本相关系数

对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），若x与y存在线性相关关系，可用样本相关系数r定量分析它们的相关程度的强弱.

（1）样本相关系数r＝∑i

（2）样本相关系数r的性质

①当r＞0时，称成对样本数据正相关；当r＜0时，称成对样本数据负相关；当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系；

②样本相关系数r的取值范围为[－1，1].当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

3.一元线性回归模型

（1）经验回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做经验回归直线；

（2）经验回归方程为y＝bx＋a，其中b＝∑i=1n

a＝y－bx

（3）通过求Q＝∑i=1n（yi－bxi－a）2的最小值而得到经验回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小

4.判断回归模型的拟合效果

由成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）按照最小二乘法得到经验回归方程y＝bx＋a，其中y叫做观测值，y叫做预测值，残差e＝y－y.相对于样本点（xi，yi）的随机误差ei＝yi－yi＝yi－（bxi＋a

（1）残差分析法

①作残差图：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或xi数据，或yi数据，这样作出的图形称为残差图；

②残差分析：残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高.

（2）决定系数（R2）法：R2＝1－∑i=1n（yi－y

基础自测

基础自测

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.（√）

（2）散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.（√）

（3）经验回归直线y＝bx＋a至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点.（×）

（4）样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强.（√）

2.两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是（）

A.①②③ B.②③①

C.②①③ D.①③②

解析：D第一个散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相关；第二个散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该是①③②.

3.对于x，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r如下，则线性相关性最强的是（）

A.－0.82 B.0.78

C.－0.69 D.－0.87

解析：D由样本相关系数的绝对值越大，变量间的线性相关性越强知，各选项中r＝－0.87的绝对值最大.

4.在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤：①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据（xi，yi），i＝1，2，…，n；③求经验回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图.则下列操作顺序正确的是（）

A.①②④③ B.③②④①

C.②③①④ D.②④③①

解析：D根据回归分析的思想，可知对两个变量x，y进行回归分析时，应先收集数据（xi，yi），然后绘制散点图，再求经验回归方程，最后对所求的经验