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学必求其心得,业必贵于专精
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课时作业(十)递推数列及数列求和的综合问题
1.(2017·信阳二模)已知数列{an}中,a1=a2=1,an+2=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an+2,n是奇数,,2an,n是偶数,))则数列{an}的前20项和为()
A.1121B.1122
C.1123D.1124
解析:由题意可知,数列{a2n}是首项为1,公比为2的等比数列,数列{a2n-1}是首项为1,公差为2的等差数列,故数列{an}的前20项和为eq\f(1×?1-210?,1-2)+10×1+eq\f(10×9,2)×2=1123.选C。
答案:C
2.(2017·湖南省五市十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8=()
A.72B.88
C.92D.98
解析:法一由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,数列{an}是公差为3的等差数列,又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,∴a1=1,S8=8a1+eq\f(8×7,2)d=92.
法二由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,数列{an}是公差为3的等差数列,S8=eq\f(8?a1+a8?,2)=eq\f(8?a4+a5?,2)=92.
答案:C
3.已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+1an-1=an(n≥2),则数列{an}的前40项和S40等于()
A.20B.40
C.60D.80
解析:由an+1=eq\f(an,an-1)(n≥2),a1=1,a2=3,可得a3=3,a4=1,a5=eq\f(1,3),a6=eq\f(1,3),a7=1,a8=3,…,这是一个周期为6的数列,一个周期内的6项之和为eq\f(26,3),又40=6×6+4,所以S40=6×eq\f(26,3)+1+3+3+1=60.
答案:C
4.(2017·广东省五校协作体第一次诊断考试)数列{an}满足a1=1,且an+1=a1+an+n(n∈N*),则eq\f(1,a1)+eq\f(1,a2)+…+eq\f(1,a2016)等于()
A.eq\f(4032,2017)B.eq\f(4028,2015)
C.eq\f(2015,2016)D。eq\f(2014,2015)
解析:由a1=1,an+1=a1+an+n可得an+1-an=n+1,利用累加法可得an-a1=eq\f(?n-1??n+2?,2),所以an=eq\f(n2+n,2),所以eq\f(1,an)=eq\f(2,n2+n)=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)-\f(1,n+1))),故eq\f(1,a1)+eq\f(1,a2)+…+eq\f(1,a2016)=2eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)-\f(1,2)+\f(1,2)-\f(1,3)+…+\f(1,2016)))
eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2017)))=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2017)))=eq\f(4032,2017),选A。
答案:A
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S3=a5.令bn=(-1)n-1an,则数列{bn}的前2n项和T2n为()
A.-nB.-2n
C.nD.2n
解析:设等差数列{an}的公差为d,由S3=a5,得3a2=a5,∴3(1+d)=1+4d,解得d=2,∴an=2n-1,∴bn=(-1)n-1(2n-1),∴T2n=1-3+5-7+…+(4n-3)-(4n-1)=-2n
答案:B
6.(2017·太原市模拟)已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n-1)·coseq\f(nπ,2)+1(n∈N*),其前n项和为Sn,则S60=()
A.-30B.-60
C.90D.120
解析:由题意可得,当n=4k-3(k∈N*)时,an=a4k-3=1;当n=4k-2(k∈N*)时,an=a4k-2=6-8k;当n=4k-1(k∈N*)时,an=a4k-1=1;当n=4k(k∈N*)时,an=a4k=8k。所以a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=8,所以S60=8×15=120.
答案:D
7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,
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