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§4.5三角函数的图象与性质
考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),\f(π,2)))上的性质.
知识梳理
1.用“五点(画图)法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),1)),____________,____________,(2π,0).
(2)在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0)),____________,____________,(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
R
值域
周期性
奇偶性
奇函数
单调递增区间
单调递减区间
对称中心
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2),0))
对称轴方程
常用结论
1.对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq\f(1,2)个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq\f(1,2)个周期.
2.奇偶性
若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=eq\f(π,2)+kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=cosx在第一、二象限内单调递减.()
(2)若非零常数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.()
(3)函数y=sinx图象的对称轴方程为x=2kπ+eq\f(π,2)(k∈Z).()
(4)函数y=tanx在整个定义域上是增函数.()
教材改编题
1.若函数y=2sin2x-1的最小正周期为T,最大值为A,则()
A.T=π,A=1 B.T=2π,A=1
C.T=π,A=2 D.T=2π,A=2
2.函数y=-taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(3π,4)))的单调递减区间为________________.
3.函数y=3-2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))的最大值为______,此时x=__________.
题型一三角函数的定义域和值域
例1(1)函数y=eq\r(cosx-\f(\r(3),2))的定义域为()
A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),\f(π,6)))
B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ-\f(π,6),kπ+\f(π,6)))(k∈Z)
C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ-\f(π,6),2kπ+\f(π,6)))(k∈Z)
D.R
听课记录:______________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)函数f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(3π,2)))-3cosx的最小值为________.
听课记录:______________________________________________________________
________________________________________________________________________
(3)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为________.
听课记录:______________________________________________________________
________________________________________________________________________
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