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第二学期

高一数学竞赛试题

考试时问:60分钟（2024.6.1918:50—19:50）满分:100分

一、填空题(每小题8分,共64分)

1.设复数z满足z+6=3z+16i

2.已知△ABC中，D,E分别为边AB,AC上的点，且AD=12DB，AE=13

3.若x,y为正实数，且x+y≤ax

4.已知三棱锥V?ABC的三条侧棱两两垂直，且VA=1

5.数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的n倍角公式，即cosnx=Tncosx,T0

6.已知fx=2exex+e?

7.一个正整数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个正整数为“P数”.现从1,2,3,?,

8.棱长为10?cm的密闭正四面体容器内，装有体积为182?cm

二、解答题(16分+20分=36分)

9.在△ABC中，sin

（1）求角C的大小；

（2）求sin2B

10.在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：sinhx=ex?e?x2，

（1）计算cosh2

（2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：coshx

（3）若对任意t∈0,ln2，关于x的方程sinht+cosh