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让学生了解数学的价值激发自身潜能

王新敞

一、让学生了解：数学是思维的体操，智慧的火化

数学是一门古老的科学。在人类懂得在地上种植食物之前，人类已懂得在树木上刻划横

线以记录数目。可以说，数学是人类最古老的科学之一。

数学是根据某些假设，用逻辑的推理得到结论。从本质上看，数学是研究现实世界的数

量关系与空间形式的科学。或简言之，是研究数与形的科学。对这里的数与形应做广义的理

解，它们随着数学的发展，将不断取得新的内容。

数学来源于人类的生产实践活动，它随着人类社会生产力的发展而发展。一般的，可以

把数学的发展分为四个时期：数的产生(公元前3000年至公元前5世纪)；常量数学即初等

数学(公元前5世纪至公元17世纪)；变量数学即近代数学(公元17世纪至19世纪末)；现代

数学(19世纪末至今)。

初等数学时期，从公元前5世纪到17世纪中叶，数学研究的主要对象是常数、常量和

不变的图形。在这一时期，数学经过漫长时间的萌芽阶段，在生产的基础上积累了丰富的有

关数与形的感性认识。到公元前6世纪的希腊几何学这一转折点，从此由具体的、试验的阶

段过渡到抽象的、理论的阶段，开始创立初等数学，经过发展的交流，最后形成了几何、算

术、代数、三角等独立学科。这一时期的成果可以用“初等数学”来概括，它构成了中小学数

学课的主要内容。

变量数学时期，从17世纪中叶到19世纪20年代，数学研究的主要内容是数量的变化

及几何变换。这一时期的主要成就是解析几何、微积分、高等代数等学科，它们构成大学数

学(非数学专业)的主要内容。

现代数学时期，由19世纪20年代至今，数学主要研究的是最一般的数量关系和空

间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象仅仅是

特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分，它们是大学数学

专业的课程。变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃的向前发展，内容和方法不断地充实、

扩大和深入。

二、让学生了解：数学思维的魅力

“数学是思维的体操”。其实，数学不仅是思想体操而已。数学思维具有无穷的威力，也

有令人醉心的魅力。

2001年3月22日，俄罗斯“和平”号空间站准确地坠毁在南太平洋指定海域。在这场举

世瞩目的行动中，有两门数学起着关键的作用：1948年仙农建立的数学信息论，以及1946

年维纳开创的数学控制论。首先，这需要由地面远距离传送指令信息，这肯定要受到噪声的

干扰。如何保证“和平”号上接收的指令完全正确，这需要用抗干扰的通信理论和数学滤波设

计。至于如何指挥空间站上计算机启动阀门，调整飞行姿态，控制进入大气层的地点和速度，

都必须准确地运用控制论技术。时至今日，宇航专家对这门数学控制技术的运用已经驾轻就

熟，因而这次坠毁可说无惊无险。

在“和平”号坠毁时，俄罗斯的地面指挥中心及其派往南太平洋的观测组，以及南太平洋

周边地区的许多地面观测站都在工作。在这些观测活动中，离不开一项关键数学技术———

卡尔曼滤波。众所周知，由于受各种干扰的影响，地面观察到的飞船位置和真实的飞船位置

会出现误差。1960年，美国数学家卡尔曼（R.Kalman）提出了一种数学方法，可以把随机

出现的干扰“滤”掉，使地面监测的数据和真实的位置达到最佳吻合。这便是著名的卡尔曼滤

波。1968年，美国阿波罗飞船登月，地面上四座雷达监控飞船的位置，并发出指令使阿波

罗飞船软着陆，如果地面观测误差太大，控制飞船计算机调节指令出现失误，登月计划就将

前功尽弃。卡尔曼滤波技术于是在登月航行中大显身手，经受了实践的检验。时至今日，任

何航行（包括每一架喷气客机）都离不开卡尔曼滤波，“和平”号的坠落自然也不例外。卡尔

曼滤波技术现在已推广到地震监测和经济趋势的监控。是的，我们虽然看不见数学技术的巨

大威力，却无时无刻不在享受它的恩惠。

三、让学生了解：理性思维的精华

数学的思维是严密的，最讲究秩序的。确实，五花八门的几何图形，如三角形、圆、多

边形、长方体、圆锥面等等，居然可以从一组平凡的公理出发，步步为营，依次展开，推论

出一系列的前后有序的定理链条，最后构成了欧氏几何学。另外，我们能从一堆乱麻似的数

据中，找到一些关系，写成方程式，而且可以按部就班地把未知数一一解出来。一个数学命