期末专题复习：平面向量及其应用知识精讲+解题方法点拨+考点+跟踪训练-高一数学下学期人教A版2019必修第二册（解析版）.docxVIP

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平面向量及其应用（解析版）

知识精讲+解题方法点拨+考点+跟踪训练

平面向量的概念与平面向量的模

【知识精讲】

向量概念

既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．

向量的几何表示

用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．

向量的模

的大小，也就是的长度（或称模），记作||．

零向量

长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．

单位向量

长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．

相等向量

长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．

平面向量的相等与共线

【知识精讲】

相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．

共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．

规定：零向量与任一向量平行．

注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．

【解题方法点拨】

平行向量与相等向量的关系：

（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；

（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．

（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．

（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．

【考点】

了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．

平面向量数量积的性质及其运算

【知识精讲】

1、平面向量数量积的重要性质：

设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：

（1）＝＝||cosθ；

（2）?＝0；（判定两向量垂直的充要条件）

（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；

特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）

（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）

（5）||≤||||

2、平面向量数量积的运算律

（1）交换律：；

（2）数乘向量的结合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；

（3）分配律：（）?≠?（）

平面向量数量积的运算

平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．

【解题方法点拨】

例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①“mn＝nm”类比得到“”

②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）?＝”；

③“t≠0，mt＝nt?m＝n”类比得到“?”；

④“|m?n|＝|m|?|n|”类比得到“||＝||?||”；

⑤“（m?n）t＝m（n?t）”类比得到“（）?＝”；

⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．

解：∵向量的数量积满足交换律，

∴“mn＝nm”类比得到“”，

即①正确；

∵向量的数量积满足分配律，

∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）?＝”，

即②正确；

∵向量的数量积不满足消元律，

∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能类比得到“?”，

即③错误；

∵||≠||?||，

∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能类比得到“||＝||?||”；

即④错误；

∵向量的数量积不满足结合律，

∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能类比得到“（）?＝”，

即⑤错误；

∵向量的数量积不满足消元律，

∴”不能类比得到，

即⑥错误．

故答案为：①②．

向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）?＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能类比得到“?”；||≠||?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能类比得到“||＝||?||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m?n）t＝m（n?t