专题18 函数的概念及其表示（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义.doc

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专题18函数的概念及其表示

【知识点梳理】

知识点一：函数的概念

1、函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系SKIPIF10，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数SKIPIF10和它对应，那么就称SKIPIF10为从集合A到集合B的一个函数.

记作：SKIPIF10，SKIPIF10．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合SKIPIF10叫做函数的值域.

知识点诠释：

(1)A、B集合的非空性；(2)对应关系的存在性、唯一性、确定性；(3)A中元素的无剩余性；(4)B中元素的可剩余性。

2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

3、区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示．

区间表示：

SKIPIF10；SKIPIF10；

SKIPIF10；SKIPIF10；

SKIPIF10；SKIPIF10.

知识点二：函数的表示法

1、函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.

2、分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

知识点三：函数定义域的求法

(1)确定函数定义域的原则

①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.

②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.

③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数SKIPIF10的集合。

(2)抽象函数定义域的确定

所谓抽象函数是指用SKIPIF10表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。

(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.

知识点四：函数值域的求法

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；

判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.

求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.

【题型归纳目录】

题型一：函数的概念

题型二：给出解析式求函数的定义域

题型三：抽象函数求定义域

题型四：给出函数定义域求参数范围

题型五：同一函数的判断

题型六：给出自变量求函数值

题型七：求函数的值域

题型八：求函数的解析式

题型九：分段函数求值、不等式问题

题型十：区间的表示与定义

【典例例题】

题型一：