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第
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专题05三角形
【知识点梳理】
知识点1:三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
如图3.2-1,在三角形SKIPIF10中,有三条边SKIPIF10,三个角SKIPIF10,三个顶点SKIPIF10,在三角形中,角平分线、中线、高(如图3.2-2)是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部,恰好是每条中线的三等分点.
三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部,它到三角形的三边的距离相等.
三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部.
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆,该圆是三角形ABC的外接圆,圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点.
知识点2:几种特殊的三角形
结论一:等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形ABC中,三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.
结论二:正三角形三条边长相等,三个角相等,且四心(内心、重心、垂心、外心)合一,该点称为正三角形的中心.
【题型归纳目录】
题型一:三角形的“四心”
题型二:几种特殊的三角形
【典例例题】
题型一:三角形的“四心”
例1.如图,在平行四边形SKIPIF10中,P是线段SKIPIF10中点,连接SKIPIF10交SKIPIF10于点E,连接SKIPIF10.
??
(1)如果SKIPIF10.
①求证:平行四边形SKIPIF10为菱形;
②若SKIPIF10,求线段SKIPIF10的长.
【解析】(1)证明:①如图所示,连接SKIPIF10交SKIPIF10于O,
∵四边形SKIPIF10是平行四边形,∴SKIPIF10,
∵SKIPIF10,
∴SKIPIF10,∴SKIPIF10,
∵SKIPIF10,∴SKIPIF10,∴SKIPIF10,∴平行四边形SKIPIF10是菱形;
②∵SKIPIF10,∴SKIPIF10是SKIPIF10的中线,
∵SKIPIF10为SKIPIF10中点,∴SKIPIF10是SKIPIF10的中线,∴点E是SKIPIF10的重心,
∴SKIPIF10,设SKIPIF10,则SKIPIF10,
在SKIPIF10中,由勾股定理,得SKIPIF10,
在SKIPIF10中,由勾股定理,得SKIPIF10,
∴SKIPIF10,解得:SKIPIF10(负值舍去),∴SKIPIF10,
∵四边形SKIPIF10是平行四边形,∴SKIPIF10;
例2在SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,点O是边SKIPIF10的中点,将SKIPIF10绕点O旋转得到SKIPIF10(点A,B的对应点分别为SKIPIF10,SKIPIF10),点SKIPIF10
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