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第
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专题03一元二次方程与二次函数的图象、性质
【知识点梳理】
知识点1:根的判别式
我们知道,对于一元二次方程SKIPIF10(SKIPIF10),用配方法可以将其变形为
SKIPIF10.①
因为SKIPIF10,所以,SKIPIF10.于是
(1)当SKIPIF10时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
SKIPIF10;
(2)当SKIPIF10时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根
SKIPIF10;
(3)当SKIPIF10时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边SKIPIF10一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根.
由此可知,一元二次方程SKIPIF10(SKIPIF10)的根的情况可以由SKIPIF10来判定,我们把SKIPIF10叫做一元二次方程SKIPIF10(SKIPIF10)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.
综上所述,对于一元二次方程SKIPIF10(SKIPIF10),有
(1)当Δ0时,方程有两个不相等的实数根SKIPIF10;
(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根SKIPIF10;
(3)当Δ0时,方程没有实数根.
知识点2:根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程SKIPIF10(SKIPIF10)有两个实数根
SKIPIF10,SKIPIF10,
则有SKIPIF10;
SKIPIF10.
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果SKIPIF10(SKIPIF10)的两根分别是SKIPIF10,SKIPIF10,那么SKIPIF10,SKIPIF10.这一关系也被称为韦达定理.
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程SKIPIF10,若SKIPIF10,SKIPIF10是其两根,由韦达定理可知
SKIPIF10,SKIPIF10,即SKIPIF10,SKIPIF10,
所以,方程SKIPIF10可化为SKIPIF10,由于SKIPIF10,SKIPIF10是一元二次方程SKIPIF10的两根,所以,SKIPIF10,SKIPIF10也是一元二次方程SKIPIF10.
知识点3:二次函数图像的伸缩变换
问题函数SKIPIF10与SKIPIF10的图象之间存在怎样的关系?
为了研究这一问题,我们可以先画出SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10的图象,通过这些函数图象与函数SKIPIF10的图象之间的关系,推导出函数SKIPIF10与SKIPIF10的图象之间所存在的关系.
先画出函数SKIPIF10,SKIPIF10的图象.先列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
从表中不难看出,要得到2x2的值,只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了.
再描点、连线,就分
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