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3.3垂径定理导学案
学习目标
1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理;
2.运用垂径定理及其逆定理解决问题.
学习策略
1.经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各
种方法.
2.通过学习垂径定理及其逆定理的证明,领会数学的严谨性和探索精神,培养学习实事求
是的科学态度和积极参与的主动精神.
学习过程
一.复习回顾:
1.等腰三角形是轴对称图形吗?
2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折,可以发现什么结论?
3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心,腰长为半
径画圆,得到的图形是否是轴对称图形呢?
二.新课学习:
1.如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
(1)该图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
(2)你能图中有哪些等量关系?
(3)你能给出几何证明吗?(写出已知、求证并证明)
证明:连接OA,OB,则OAOB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OAOB,OMOM,∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AMBM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒⌒⌒
和重合,和重合.[来源:学,科,网]
ACBCADBD
⌒⌒⌒⌒
∴,.
ACBCADBD
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.如图,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M.
(1)下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
(2)图中有哪些等量关系?说一说你的理由.
(3)你能模仿垂径定理的证明过程,自行证明逆定理吗?
(4)你能正确表述逆定理的内容吗?
(5)“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.”如果该定理少了“不
是直径”,是否也能成立?
条件:①CD是直径;②AMBM
结论(等量关系):③CD⊥AB;
④⌒⌒;⑤⌒⌒.
ACBCADBD
垂径定理逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
3.精读75页例题思考如下问题:
(1)如何利用所学定理添加辅助线?
(2)这样添加辅助线的目的是什么?
(3)你想利用直角三角形的什么知识来解决问题?
(4)大家能合作完成求解过程吗?
解:连接OC,设弯路的半径为Rm,则OF(R-90)m.
∵OE⊥CD
11
CFCD600300
22
根据勾股定理,得
OC²CF²+OF²
即R²300²+(R-90)².
解这个方程,得R545.
所以,这段弯路的半径为545m.
三.尝试应用:
1.(毕节中考)如图,在⊙O中,弦AB的长为8,OC⊥AB,垂足为C,且OC=3,则⊙O的半
径为()
A.5B.10C.8D.6
2.如图,在⊙O中,直径AB=4,弦CD⊥AB于P,OP=3,则弦CD的长为____________.
3.1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为
37.4米,拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2米,求桥拱所在圆的半径.(结果精确到0.1
米).
四.自主总结:
1.垂径定理:垂直于弦的平分这条,并且平分弦所对的两条.
2.垂径定理逆定理:平分弦()的直径于弦,并且弦所对的两条弧.
五.达标测试
一、选择题
1.如图,⊙O的半径为5,AB为弦,半径OC⊥AB,垂足为点E,若OE3,则AB的长是()
A.4B.6C.8D.10
2.如图,圆O过点A、B,圆心O在正△AB
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