概率论与数理统计第一章.docx

第一章概率论的基本概念

内容提要：

一．加法、乘法原理及排列、组合复习

加法原理设完成一件事有类方法（其中任一类方法都可达到

完成这件事的目的），若第1类方法有种，第2类方法有种，第类方法有种，则完成这件事共有++种方法。

乘法原理设完成一件事有个步骤（依次完成每一步才可达到

完成这件事的目的），若第1步有种方法，第2步有种方法，第步有种方法，则完成这件事共有种方法。

排列

??????（1）选排列和全排列从个不同元素中任取个元素按顺序排成一列，称为从个元素中取出个元素的一个排列，从个元素中取出个元素的所有排列种数记为

；

将个不同元素全部取出的排列，称为全排列，排列种数记为

=；

规定。

??????（2）可重复排列从个不同元素中可重复（有放回）的取个元

素按顺序排成一列，其排列种数为。

??????（3）不尽相异元素的全排列设个元素中有个相同，又有个相同，又有个相同，且，这样个元素的全排列叫不尽相异元素的全排列，其排列种数为。

??（4）环状排列从个不同元素中任取个元素不分首尾按环状排列，排列种数为。

组合

??????（1）通常意义的组合从个不同元素中每次取个元素不分顺序并成一组，称为从个元素中取出个元素的一个组合，从个元素中取出个元素的所有组合数记为

或

组合有以下性质：，。

（2）可重复排列从个不同元素中可重复（有放回）的取个元

素不分顺序并成一组，称为从个元素中取出个元素的一个可重复组合，从个元素中取出个元素的所有可重复组合数为。

二．随机试验和随机事件

随机试验（记为）若试验（观察或实验过程）满足条件：

??????（1）可以在相同的条件下重复进行，

??????（2）试验的结果是明确可知的，而且有多种可能性，

??????（3）每次试验之前不能确定哪个结果会出现，

则该试验称为随机试验。

2．样本空间和样本点试验所有可能的结果组成的集合称为的样本空间，记为；试验的每一个可能结果即中的每一个元素，称为样本点。

3．随机事件随机试验的一个结果，即样本空间的任一个子集，称为随机事件，用大写字母表示。其又可细分为

?（1）基本事件随机试验的每个不可再分解的结果（单个样本点组

成的单点集），

（2）复杂事件若干个基本事件构成的事件（由若干个样本点构成集

合），

（3）必然事件样本空间包含所有的样本点，它是自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件，仍记为，

（4）不可能事件空集不包含任何样本点，它作为样本空间的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件，记为。

4．事件之间的关系及运算

（1）包含：若事件发生必导致事件发生，则称包含于，或包含，记为，

（2）相等：若且，则称与相等，记为，

??????（3）和事件：事件的和（或并）∪表示事件和事件中至少有一个发生，推广如下：

∪∪…∪表示个事件,,…,中至少有一个发生，

∪∪…∪∪…表示事件,,…,,…中至少有一个发生，

（4）积事件：事件的积（或交）∩表示事件和事件同时发生，推广如下：

∩∩…∩表示个事件,,…,同时发生，

∩∩…∩∩…表示事件,,…,,…同时发生，

??（5）差事件：事件发生而事件不发生，称与的差，记为，

??????（6）互斥事件（互不相容）：若事件和事件不能同时发生，即∩=，则称与为互斥事件，

注：基本事件必是两两互斥的。

?（7）对立事件（逆事件）：在每次实验中，“事件不发生的事件”称为事件的对立事件，记为。

????注：∪=，=，=而且有定义可知，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，

（8）事件的运算规律

?(ⅰ)交换律：∪=∪，=

?(ⅱ)结合律：∪(∪C)=(∪)∪,∩(∩C)=(∩)∩

?(ⅲ)分配律：∪(∩C)=(∪)∩（∪）,∩(∪C)=(∩)∪（∩）

(ⅳ)德﹒摩根律：=∩,=。

三．概率的定义及性质

??1．概率的公理化定义

??设随机试验的样本空间为，对于的每个事件，定义一个实数

与之对应，若函数满足条件

?(ⅰ)非负性对每个事件，均有，

?(ⅱ)规范性，

?(ⅲ)可列可加性对于任意两两互斥的事件,,…,,…，均有∪∪…∪∪…）=，

则称为事件的概率。

2．概率的性质

（1），

注：其逆不真，即概率为0的事件不一定是不可能事件。

（2）有限可加性对于任意两两互斥的事件,,…,，均有∪∪…∪）=，

（3）若，则有，，

注：当条件不满足时，一般的，但是有。

（4）对于任意事件，，

（5）对于任意事件，，

（6）加法公式对于任意事件和，有

，推广如下：

∪∪…∪）=+

+

+

四．等可能概型（古典概型）