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湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．从含有3件正品，2件次品的产品中随机抽取2件产品，则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为（????）

A． B． C． D．

2．已知随机变量服从正态分布，则（????）

A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8

3．若函数在处取得极值，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

4．函数的图像大致为（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

5．若函数的图象与的图象恰好有四个交点，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（????）

A．7 B．7.7 C．8.4 D．9.1

7．已知，则（????）

A． B．

C． D．

8．设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（????）

A． B．2 C．1 D．

二、多选题

9．下列说法中，正确的命题是（????）

A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1

B．

C．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好

D．随机变量服从两点分布，且，设，则

10．甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用表示事件“甲最终获胜”，表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”，表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是（????）

A． B．

C．与互斥 D．与独立

11．若直线与曲线，相交于不同两点，曲线在A，B点处切线交于点，则（????）

A． B．

C． D．不存在，使得

三、填空题

12．已知离散型随机变量的分布列为

0

1

2

3

若，则.

13．已知函数，若恒成立，则的最小值为.

14．从这10个数中随机抽一个数记为，再从中随机抽一个数记为，则.

四、解答题

15．已知命题，不等式恒成立；命题，使成立.

(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；

(2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围.

16．随着社会经济的发展，越来越多的人在抵达目的地后选择租车游玩，拉动了许多租车公司的业务，某租车公司为继续开拓市场，提升服务质量，迎接暑假旅游旺季的到来，对近5年的暑假的租车业务量（单位：十万元）进行了汇总研究，情况如下：

年份

2019年

2020年

2021年

2022年

2023年

业务量

20

24

36

43

52

经过数据分析，已知年份与业务量具有线性相关关系.

(1)假设2019年为第1年，求第年的业务量关于的经验回归方程，并预测2024年暑假的业务量；

(2)该公司从2023年暑假租车的客户中随机抽取了100名客户进行调研，现将100名客户的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将列联表补充完整并根据小概率值的独立性检验，分析青年群体和中老年群体对租车服务的评价是否有差异.

好评

差评

合计

青年

20

中老年

15

合计

45

100

附：经验回归直线方程，其中

独立性检验中的，其中.

临界值表：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

17．在数列中，，且.

(1)求的通项公式；

(2)令，求数列的前项和.

18．已知函数.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；

(3)证明：.（参考数据：）

19．Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个Catalan数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，中，满“对任意，都有”的数列的个数等于.

已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.

(1)设粒子第3秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求的分布列和数学期望；

(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.

（i）求及；