《灾害风险管理》 课件 第五章 灾害风险统计基本方法.pptx

第五章

灾害风险统计基本方法

本章重点内容：风险的概率统计方法；风险的模糊观点；模糊数学中的基本概念；常用模糊系统分析方法。

本章培养目标：了解灾害风险统计基本方法；掌握概率统计方法；理解风险的模糊观点和模糊数学中的基本概念；掌握模糊数学方法。通过本章的学习，让学生更加了解灾害、提高学生对灾害的认知和理解以及灾害发生的规律和趋势，从而更好地适应自然环境中的变化，用科学的方法来面对未来的风险。

第一节风险的概率统计方法令随机事件A在每次试验中发生的概率为p。如果在相同的条件下重复进行了n次独立的试验，则A总共发生k次的概率可由下式算出

pk=nkpk1?pn?k,k=0,1....,n;n∈N,0p1(5.1)

满足式(5.1)的离散型分布称为二项分布。其中nk是从n个不同元素中，每次取出k个不同的元素，其组合种数，称为“组合”，有时也记为Cnk。计算式为

nk=n!n?k!k!

n!=1×2×3,?,×n，称为“n阶乘”。有趣的是，二项分布正好是代数中二项式a+bn展开通项一、风险评价中常用的离散型分布1.二项分布

各a=p,b=1?p的结果。二项分布的均值和方差为

μ=np，σ27=np(1?p)

取n=11，p=0.4，可以得到相应分布由图5-1的长条图示之。

2.泊松分布若每次试验中事件A的概率很小（p?1），在大量试验的总结果中，事件的数目有一个有限的期望值λ=，则A总共发生k次的概率可由下式算出

满足式(5.2)的离散型分布称为泊松分布，是在n→∞时二项分布的极限。泊松分布的均值和方差为

μ=λ，σ2=λ

如果k是某个随机事件的次数，并且满足下面的条件，??就近似地服从泊松分布：

(1)k在一个有限的期望值λ左右摆动；

(2)k可以看作是大量独立试验的总结果；

(3)对于每一次试验，事件有相同概率在条件(1)和(2)的限制下，这个概率必然很小。

在灾害系统中，如果灾害事件数服从泊松分布，则两个灾害事件之间的时间间隔就服从指数分布。对于某种随机发生的灾害现象，如果单位时间间隔内平均事件数为λ。而且事件的概率与时间无关，即在任意固定长度?t的时间区间内，事件有相同的概率，与区间的位置无关，则单位时间内的事件数目k满足泊松分布条件(1)和(2)，k服从泊松分布，λ=5时的泊松分布如图5-2所示。

图5-2λ=5时的泊松分布长条图

二、风险评价中常用的连续性分布1.均匀分布若随机变量X的概率密度函数为式(5.3)，则称X服从a,b上的均匀分布。该均匀分布的概率密度函数是一个常数。此分布是所有统计分布中最简单的。均匀分布又称作矩形分布，简记作U(a,b)

均匀分布的均值和方差如下

均匀分布的概率密度函数如图5-3所示。由于对连续随机量来讲，选中指定区间上一个点的概率为零，所以，均匀分布的区间是开还是闭，对分布性质都没有影响，通常选用闭区间。

均匀分布图5-3均匀分布??(??,??)

2.正态分布若随机变量X的概率密度函数为式(5.4)，则称X服从以μ和σ为参数的正态分布。该分布又称作高斯分布，是概率统计中最重要的一个分布，其两个参数正好分别是分布的均值和标准差。正态分布简记作N=(μ,σ2)，概率密度函数如图5-4所示。

μ=0，σ=1时的正态分布称为标准正态分布。若随机变量ξ服从标准正态分布则随机变量η=σξ+μ是一个正态分布变量，它的均值为μ，方差为σ2。因此，只需对标准正态分布进行讨论而不失一般性。

对一服从正态分布N=(μ,σ2)的随机变量ξ有

P(μ?σ≤x≤μ+σ)=0.6826

这说明，68%的样本点取值落在均值μ的一个σ范围内，95%的样本点取值落在均值μ的两个σ范围内。

3.对数正态分布若随机变量X的概率密度函数为式(5.5)，则称X服从以μ和σ为参数的对数正态分布(图5-5)。显然，此时随机变量logx服从以μ和σ为参数的正态分布。p(x)=1xσ2πexp?logx?u22σ2,0x∞(5.5)此处“log”是自然对数(即以e=2.718?为底的对数，严格来讲，应该记为“ln”，但由于历史的原因，人们习惯于记为“log”，全书同)。易知对数正态分布的均值和方差为E(X)=exp(μ+σ22)，Var(x)=[exp(σ2?1)]exp(2μ+σ2)

该分布的概率密度函数还有别的表达式。例如，式(5.6)就是其中的一种。并称σ为形状参数，θ为位置参数，m为比例参数。

式(5.6)和式(5.5)的表达方式不同，但本质相同。式(5.4)和式(5.5)中的有关参数形式不一样，它的均值和方差也与式(5.5)的表达式不一样。由于式(5.5)最简