第一学期概率论与数理统计(A)重修课考试试卷答案.doc

2003-2004学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案

一．（本题满分56分，共有8道小题，每道小题7分）．

1．根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有90%的可能考试不及格．据调查，学生中有90%的人是努力学习的，试问：

⑴考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？

⑵考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？

解：

设，

．

由题设，有，；，．

要求的概率为和．由Bayes公式，有

⑴．

⑵．

2．房间内有10个人，分别佩带1号到10号纪念章，任意选出5个人记录其纪念章的号码，令表示其最小号码，⑴求的分布律．⑵求．

解：

⑴的取值为，并且

，，，

，，．

的分布律为

1

2

3

4

5

6

⑵．

三．（本题满分8分）

3．有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各5杯．如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次．

⑴.某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少？

⑵.某人声称他通过品尝能区分两种酒．他连续试验10次，成功4次．试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）．

解：

⑴.设，则有

⑵.设：试验10次成功的次数，则

由于

因此随机事件是一个小概率事件，根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理，随机事件是不大可能发生的，但它却发生了，因此我们可以断定此人确有区分酒的能力．

4．设二维随机变量的联合密度函数为

，

⑴试求常数；⑵求条件密度函数．

解：

⑴由联合密度函数的性质，有，因此

，

所以，．

⑵当时，

所以随机变量的边缘密度函数为．

所以当时，

5．设二维正态随机变量的边缘分布，，且相关系数．求概率．

解：

由于服从二元正态分布，且与的相关系数，得与相互独立．所以也服从正态分布．

，

，

所以，．

．

6．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取元、元、元各个值的概率分别为、、．某天该食品店出售了只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为元的概率．

（附表：标准正态分布的数值表：

解：

设表示该食品店出售的第只蛋糕的价格，则的分布律为

所以，，

，

所以，．

因此，是独立同分布的随机变量，故

．

7．设总体．是取自该总体中的一个样本，是其样本均值，试求：⑴的联合密度函数；⑵的概率密度函数．

解：

由于总体，所以的密度函数为

．

⑴的联合密度函数为

⑵由于，所以的密度函数为

．

8．设总体服从区间上的均匀分布，是取自该总体中的一个样本，求未知参数的矩估计量为．

解：

总体的密度函数为，则

．

所以，．将用样本均值来替换，得的矩估计量为．

二．（本题满分30分，共有3道小题，每道小题10分），

9．设随机变量，．试求随机变量的密度函数．

解：

随机变量的密度函数为

．

设随机变量的分布函数为，则

．

⑴当时，．

⑵当时，

所以，．

所以，．

10．某商店按季节出售某种应时商品，每出售1公斤获利润100元，如到季末尚有剩余商品，则每公斤净亏损60元．又设该商店在季度内这种商品的出售量（单位：公斤）是一个随机变量，且服从区间上的均匀分布．为使商店所获利润的数学期望为最大，问该商店应进多少货？

解：

随机变量的密度函数为

设该商店进货公斤，是该商店所得利润，则有

即

所以，

令：

则

令，得驻点，并且可以判别是函数的最大值点，因此当该商店进货公斤时，商店所得利润的数学期望为最大．

11．已知总体服从Laplace分布，其概率密度为

．

其中是未知参数．是从该总体中抽取的一个样本．⑴求的矩估计量．⑵试用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计概率．

解：

设是从该总体中抽取的一个样本，由于

作变换，则，代入上式，得

．

所以，得．将用样本均值替换，得的矩估计量为．

⑵，

而

作变换，则，代入上式，得．

所以，．

由Chebyshev不等式，得．

三．（本题满分14分，共有2道小题，每道小题7分），

12．已知总体的分布律为

其中是未知参数，是从中抽取的一个样本，试求当样本观测值为时，参数的最大似然估计值．

解：

．

所以当样本观测值为时，似然函数为

所以，．

令，得，由此得似然函数在区间上的驻点为．并且是似然函数在区间上的唯一驻点．因此此时似然函数的最大值点为．即当样本观测值为时，参数的最大似然估计值为．

13．设总体的密度函数为

其中是未知参数，是从总体中抽取的一个简单随机样本．令

，，