高中数学选择性必修三 6 2 3 组合.pdfVIP

6.2.3组合

课标要求素养要求

1.通过实例理解组合的概念.通过学习组合的概念，进一步提升数学抽象及逻

2.会解决简单的组合问题.辑推理素养.

新知探究

在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表，问共有多少

种选择方案？这样的问题就是本节课要重点研究的问题．

问题如何解决上述情境中的问题？

提示从5名候选人中选取3人担任代表，共有10种不同的选择方法．

1．组合的概念

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素

中取出m个元素的一个组合．

2．排列与组合之间的联系与区别

从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元

素，这个是共同点，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，只有

元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的，而两个组合只要元素相同，不论

元素的顺序如何，都是相同的．

拓展深化

[微判断]

1．从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的组合有6个．(×)

提示从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的组合有{a，b}，{a，c}，{b，

c}3个．

2．从1，3，5，7中任取两个数相乘可得6个积．(√)

3．1，2，3与3，2，1是同一个组合．(√)

[微训练]

1．下列问题属于组合问题的是________．

①由1，2，3，4构成的双元素集合；②由1，2，3构成的两位数的方法；③由

1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．

答案①

2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的

种数是____(假设票价只与距离有关)．

答案3

[微思考]

两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？

提示两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同．两个相同的组合只要元

素相同，不看元素顺序如何.

题型一组合概念的理解

【例1】(多空题)给出下列问题：

(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？

(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？

(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少

种不同的选法？

(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？

在上述问题中，____是组合问题，______是排列问题．

解析(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．

(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．

(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．

(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．

答案(1)(4)(2)(3)

规律方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无

顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个

结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，

是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

【训练1】判断下列问题是排列问题还是组合问题．

(1)集合{0，1，2，3，4}的含三个元素的子集的个数是多少？

(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若

从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？

解(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0，

1，2，3，4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题．

(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题；选代表参加会议是不用考虑

次序的，所以是组合问题．

题型二简单的组合问题

【例2】(多空题)有5名教师，其中3名男教师，2名女教师．

(1)现要从中选2名去参加会议，有__________种不同的选法；

(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；

(3)现要从中选出男、女教师各