专题17 二次函数与一元二次方程、不等式（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义.doc

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专题17二次函数与一元二次方程、不等式

【知识点梳理】

知识点一：一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如SKIPIF10或SKIPIF10(其中a，b，c均为常数，SKIPIF10的不等式都是一元二次不等式．

知识点二：二次函数的零点

一般地，对于二次函数SKIPIF10，我们把使SKIPIF10的实数SKIPIF10叫做二次函数SKIPIF10的零点.

知识点三：一元二次不等式的解集的概念

使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．

知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

对于一元二次方程SKIPIF10的两根为SKIPIF10且SKIPIF10，设SKIPIF10，它的解按照SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10可分三种情况，相应地，二次函数SKIPIF10SKIPIF10的图像与SKIPIF10轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式SKIPIF10SKIPIF10或SKIPIF10SKIPIF10的解集.

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

二次函数

SKIPIF10(SKIPIF10)的图象

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

有两相异实根

SKIPIF10

有两相等实根

SKIPIF10

无实根

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

知识点诠释：

(1)一元二次方程SKIPIF10的两根SKIPIF10是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线SKIPIF10SKIPIF10与SKIPIF10轴的交点的横坐标；

(2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

(3)解集分SKIPIF10三种情况，得到一元二次不等式SKIPIF10与SKIPIF10的解集.

知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤

(1)选取合适的字母表示题中的未知数；

(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；

(3)求解所列出的不等式(组)；

(4)结合题目的实际意义确定答案．

知识点六：一元二次不等式恒成立问题

(1)转化为一元二次不等式解集为SKIPIF10的情况，即SKIPIF10恒成立SKIPIF10恒成立

SKIPIF10SKIPIF10

(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.

知识点七：简单的分式不等式的解法

系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”

【题型归纳目录】

题型一：解不含参数的一元二次不等式

题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇

题型三：含有参数的一元二次不等式的解法

题型四：一次分式不等式的解法

题型五：实际问题中的一元二次不等式问题

题型六：不等式的恒成立与有解问题

题型七：一元二次方程根的分布问题

【典例例题】

题型一：解不含参数的一元二次不等式

例1．解不等式：

(1)SKIPIF10