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第
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专题04方程与不等式
【知识点梳理】
知识点1:二元二次方程组的解法
方程SKIPIF10
是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程.其中SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10叫做这个方程的二次项,SKIPIF10,SKIPIF10叫做一次项,6叫做常数项.
我们看下面的两个方程组:
SKIPIF10,SKIPIF10
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由两个二元二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组.
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法.
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解.
知识点2:一元二次不等式的解法
为了方便起见,我们先来研究二次项系数SKIPIF10时的一元二次不等式的解.
我们知道,对于一元二次方程SKIPIF10(SKIPIF10),设SKIPIF10,它的解的情形按照SKIPIF10SKIPIF10分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解,相应地,抛物线SKIPIF10与SKIPIF10轴分别有两个公共点、一个公共点和沿有公共点(如图SKIPIF10所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式SKIPIF10与SKIPIF10SKIPIF10的解.
(1)当SKIPIF10时,抛物线SKIPIF10与SKIPIF10轴有两个公共点SKIPIF10和SKIPIF10,方程SKIPIF10有两个不相等的实数根SKIPIF10和SKIPIF10,由图2.3-2①可知
不等式SKIPIF10的解为SKIPIF10,或SKIPIF10;
不等式SKIPIF10的解为SKIPIF10.
(2)当SKIPIF10时,抛物线SKIPIF10与SKIPIF10轴有且仅有一个公共点,方程SKIPIF10有两个相等的实数根SKIPIF10,由图SKIPIF10②可知不等式SKIPIF10的解为SKIPIF10;
不等式SKIPIF10无解.
(3)如果SKIPIF10,抛物线SKIPIF10与SKIPIF10轴没有公共点,方程SKIPIF10没有实数根,由图2.3-2③可知
不等式SKIPIF10的解为一切实数;
不等式SKIPIF10无解.
今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接求解;如果二次项系数小于雪,则可以先在不等式两边同乘以SKIPIF10,将不等式变成二次项系数大于零的形式,再利用上面的结论去解不等式.
【题型归纳目录】
题型一:一元二次不等式的解法
题型二:二元二次方程组的解法
【典例例题】
题型一:一元二次不等式的解法
例1.解不等式:SKIPIF10
【解析】SKIPIF10,所以原不等式的解为SKIPIF10或SKIPIF10.
例2.解不等式:SKIPIF10;
【解析】SKIPI
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