方阵的特征值与特征向量讲解课件.pptVIP

第五章第五章相似矩阵§5.1方阵的特征值与特征向量§5.2矩阵相似对角化相*§5.3Jordan标准形介绍似矩阵1

§5.1方阵的特征值与特征向量§5.1方阵的特征值与特征向量第五章一、问题的引入二、基本概念相似矩三、特征值与特征向量的求解方法四、特征值的性质阵五、特征向量的性质2

§5.1方阵的特征值与特征向量第一、问题的引入五矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，章如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭相似代法求解等问题都会用到该理论。矩阵3

§5.1方阵的特征值与特征向量第一、问题的引入五引例种群增长模型(工业增长模型)章设x代表某种群C的数量，(某国的工业增长水平)y代表某种群D的数量，(该国的环境污染程度)相似矩阵初态为一年后的状态为：即则第k年后的状态为：如何计算？问题4

§5.1方阵的特征值与特征向量第一、问题的引入五1.初步设想章若存在一个可逆矩阵P，使得相似矩阵则进一步有5

§5.1方阵的特征值与特征向量第一、问题的引入五2.简单分析章寻找一个可逆矩阵P，使得对二阶方阵A寻找两个向量即相似矩阵记则它们被A左乘后正好等于自己的某个倍数且这两个向量必须线性无关6

§5.1方阵的特征值与特征向量第一、问题的引入五3.一般性问题的提出章对于方阵A，求向量X和(实)数l，使得相似矩阵比如，对于矩阵则有令从而有7

§5.1方阵的特征值与特征向量第二、基本概念五1.特征值与特征向量章定义设A为n阶方阵，如果存在数l和n维非零向量X使得AX=lX，则称数l为方阵A的特征值，非零相似矩阵向量X称为A的属于特征值l的特征向量。注意(1)特征值l可以为零；(2)属于同一个特征值的特征向量不是惟一的。比如，若X是矩阵A的属于特征值l的特征向量，0则也是A的属于特征值l的特征向量。08

§5.1方阵的特征值与特征向量第二、基本概念五1.特征值与特征向量章2.特征多项式分析由有相似该方程组有非零解的充要条件是矩阵定义记则称为方阵A的特征多项式；称为方阵A的特征方程。9

§5.1方阵的特征值与特征向量特征多项式“具体”形式第五章特征多项式是l的n次多项式，即相似矩阵其中，称为A的迹，记为10

§5.1方阵的特征值与特征向量第三、特征值与特征向量的求解方法五步骤(1)求解特征方程得到特征值。章由于特征方程在复数范围内恒有解，且其解的个数为特征方程的次数，因此n阶方阵有n个特征值(重根按重数计算)。相似矩阵(2)设l=l是方阵A的一个特征值，求解齐次线性方i得到非零解程组则X就是的A对应于特征值l的特征向量。i11

§5.1方阵的特征值与特征向量第例求矩阵五的特征值与特征向量。解(1)A的特征多项式为章相似矩阵故A的特征值为(单根)(单根)12

§5.1方阵的特征值与特征向量第(2)当时，由有五章相似矩阵求解得基础解系为故A的属于特征值的所有特征向量为13

§5.1方阵的特征值与特征向量第(3)当时，由有五章相似矩阵求解得基础解系为故A的属于特征值的所有特征向量为14

§5.1方阵的特征值与特征向量第五章解(1)A的特征多项式为相似矩阵故A的特征值为(单根)(重根)15

§5.1方阵的特征值与特征向量第(2)当时，由有五章相似矩阵求解得基础解系为故A的属于特征值的所有特征向量为16

§5.1方阵的特征值与特征向量第(3)当时，由有五章相似矩阵求解得基础解系为故A的对应于特征值的所有特征向量为17

§5.1方阵的特征值与特征向量第五章求矩阵例的特征值与特征向量。解(1)A的特征多项式为相似矩阵故A的特征值为(单根)(重根)18

§5.1方阵的特征值与特征向量(2)当时，由有第五章相似矩阵求解得基础解系为故A的对应于特征值的所有特征向量为19

§5.1方阵的特征值与特征向量(3)当时，由有第五章相似矩阵求解得基础解系为故A的对应于特征值的所有特征向量为20

§5.1方阵的特征值与特征向量)，求A的特征值。第例设方阵A为幂等矩阵(即五解设l是A的特征值，对应的特征向量为X，则章相似矩阵由有因此即又由即得有或21

§5.1方阵的特征值与特征向量四、特征值的性质第五则有性质1设n阶方阵的特征值为章相似矩阵证明由有又两式比较即得性质成立。结论方阵A可逆22

§5.1方阵的特征值与特征向量四、