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2024-07-04 发布于重庆
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2023年中国西部数学邀请赛.docx

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2023中国西部数学邀请赛

重庆

第一天8月6日上午8:00~12:00

每题15分

1．是否存在6个两两不同的整数，使得它们恰为关于x的方程

的6个根？

2．某个国家有2023个岛和2022座桥，任意一座桥连接两个不同的岛，任意两个岛之间至多有一座桥相连，且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任何岛．若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接，则称这三个岛组成“岛群”．已知任两个“岛群”中都有相同的岛，那么恰有一座桥的岛最少有多少个？

3．如图，已知内两点满足且，线段BC上一点D满足．设点A关于直线的对称点分别为．证明：．

4．设p为质数，整数均与p互质．证明：存在绝对值均小于的整数，满足

．

2023年中国西部数学邀请赛

重庆

第二天8月7日上午8:00~12:00

每题15分

5．设非负实数满足对任意，有．

求的最小值．

6．如图，设圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为，的外心为，点B关于直线CD的对称点为，点Y满足四边形DKEY是平行四边形．证明：点共圆．

7．对于正整数，用表示满足的最小正整数．对任意正整数，证明：．

8．一个方格表的左上角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有一块奶酪．老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）．现在在一些小方格的边上放置隔板，老鼠在移动时不能越过隔板．称一种放置隔板的方式是“仁蒸的”，如果放置隔板后老鼠仍能吃到奶酪．求最小的正整数，使得对任意一种“仁蒸的”放置2023个隔板的方式，老鼠都能通过不超过n次移动吃到奶酪．