1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（四种常考题型）（解析版）.docxVIP

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

（四种常考题型）

知识点1空间中点、直线和平面的向量表示

1．空间直线的向量表示

设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点,

(1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使.

(2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使

2．空间平面的向量表示

①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得

②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．

知识点2平面的法向量

1．平面法向量的定义

如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合

2．平面法向量的求法

平面法向量的确定通常有两种方法:

(1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可.

(2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系).

知识点3空间平行关系的向量表示

设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量．

线线平行

使得

注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合

证明线线平行的两种思路：

①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明;

②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示．

线面平行

注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内；

（1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直．

（2）特别强调直线在平面外．

面面平行

使得

注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合

（1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行．

（2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．

知识点4空间垂直关系的向量表示

设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量．

线线垂直

(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直．

(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.

线面垂直

使得

（1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论．

（2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论．

（3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论．

面面垂直

(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．

(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直

题型一 根据方向向量确定两直线的位置关系

1．已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则________，________.

【答案】－2012

【分析】由直线的方向向量平行的性质即可求解.

【详解】∵直线的方向向量平行，

∴，

∴，

故答案为：；.

2．设两条异面直线、的方向向量分别为，，则与所成的角为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用空间向量法可求得与所成的角的大小.

【详解】因为两条异面直线、的方向向量分别为，，

，

所以与所成的角的余弦值为，

所以，与所成的角为.

故选：C.

3．已知向量分别是直线，的方向向量，若，则（????）

A．8 B．20 C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解可得.

【详解】因为，则存在实数使得，

所以，即，

解得，，，

所以.

故选：.

4．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】根据求解即可.

【详解】由题知：，

因为，所以，解得，

所以.

故选：A

5．设直线，的方向向量分别为，，若，则等于（????）

A．－2 B．2 C．－10 D．10

【答案】C

【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可求出结果.

【详解】因为，所以，，．

故选：C

6．已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则（????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】由，则两直线的方向向量共线列式计算即可.

【详解】由题意可得：，解得：，.

故选：B.