数学（文）一轮复习：第九章　概率 第讲几何概型 .docxVIP

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第3讲几何概型

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1．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2．几何概型的概率公式

P(A)＝eq\f（构成事件A的区域长度（面积或体积），试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积））

1．辨明两个易误点

(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．

（2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型中基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．

2．会解三种常见的几何概型

(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；

(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．

(3)与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问题．

1.eq\a\vs4\al（教材习题改编)如图，转盘的指针落在A区域的概率为（)

A．eq\f（1,6) B．eq\f（1，9)

C．eq\f（1，12） D．eq\f(1,18）

C

2。eq\a\vs4\al(教材习题改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是(）

A．eq\f(1,5) B．eq\f（2,5）

C．eq\f（3,5） D．eq\f(4，5）

BP＝eq\f(30,30＋5＋40)＝eq\f(2,5）,故选B.

3.eq\a\vs4\al(教材习题改编）如图，在一边长为2的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m颗)．落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗(nm)，则L围成的区域面积(阴影部分）为(）

A．eq\f（2n，m) B．eq\f(4n，m）

C．eq\f（n，2m） D．eq\f(n,4m）

Beq\f(S阴影，S正方形）＝eq\f(落在L围成的区域的豆子数n,落在正方形中的豆子数m)，

所以S阴影＝eq\f(n，m)×22＝eq\f(4n，m).

4.eq\a\vs4\al（教材习题改编)如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机投掷一点，则它落在阴影部分的概率为________．

设圆的半径为R，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,其直角边长为eq\r（2）R，

则所求事件的概率为

P＝eq\f（S阴,S圆)＝eq\f（\f(1，2)×\r(2)R×\r（2）R，πR2)＝eq\f(1，π）。

eq\f（1,π)

5．已知正方体ABCD。A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M-ABCD的体积小于eq\f(1,6）的概率为________．

在正方体ABCD.A1B1C1D1中，设M-ABCD的高为h,则eq\f（1，3）×S四边形ABCD×h＝eq\f(1,6).又S四边形ABCD＝1，所以h＝eq\f（1，2）。若体积小于eq\f(1,6），则heq\f(1，2),即点M在正方体的下半部分，所以P＝eq\f（\f（1,2）V正方体,V正方体）＝eq\f(1,2）。

eq\f(1,2）

与长度、角度有关的几何概型

(1)（2016·高考全国卷乙）某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车,小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（)

A．eq\f(1，3） B．eq\f(1，2）

C．eq\f(2,3） D．eq\f（3,4）

（2)(2017·烟台模拟)在区间eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(π,2），\f（π，2)）)上随机取一个数x，则cosx的值介于0到eq\f（1，2)之间的概率为________．

（3）如图所示,在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r（3），在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM1的概率为________．

【解析】(1）由题意得图：

由图得等车时间不超过10分钟的概率为eq\f（1,2）。

(2）当－eq\f(π，2)≤x≤eq\f（π，2）时，由0≤cosx≤eq\f（1,2），得－eq\f(π,2）≤x≤－eq\f