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第三章随机变量的数字特征主讲教师:王佳新
数学期望第一节
一离散型随机变量的数学期望二连续型随机变量的数学期望三数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望一年龄X1819202122人数16841解平均年龄可以反映某一人群的代表性年龄水平,对我校某专业20名学生年龄(X)进行统计,数据如下表所示。求其平均年龄?引例忽略了人数的比重20x?18?1?19?6?20?8?21?4?22?1?19.920 20 20 20 20?18? 1 ?19? 6 ?20? 8 ?21? 4 ?22? 1
年龄X1819202122人数6841nx??xkpkk?1数学期望
离散型随机变量的数学期望一定义1设离散型随机变量X的分布律为若级数绝对收敛,的和为随机变量X的数学期望,记为E(X).则称级数即Notea)随机变量的期望由其分布唯一确定。b)数学期望刻画了随机变量取值的“平均数”。
X ~b(1,p),求E(X).(0-1)分布例1解因X的分布律为故X的数学期望为?0?(1?p)?1?p? pE(X)? ? xkpkk?01Note服从(0-1)分布的随机变量的期望为p。
设X ~?(?),求E(X).泊松分布例2解X的分布律为(k?0,1,2,???,??0)k!?ke??P{X ?k}?则X的数学期望为???? ????e???e? ????e?k?1?ke??k?0 k?0k?1(k?1)!k!E(X)? ? xkpk ? ?kNote服从泊松分布的随机变量的期望为λ。
连续型随机变量的数学期望二定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分绝对收敛,则称积分的值为随机变量X的数学期望,记为E(X),即
设X ~U(a,b),求E(X).均匀分布例3解X的概率密度为0,其他X的数学期望为即数学期望位于区间(a,b)的中心。Note服从均匀分布的随机变量的期望即为区间中点。
则?? ?xde1?1?0000????0??????????????e dx?? e dxx??e dxxf(x)dx??E(X)????x??x??xe??x??x??x设X ~E(?)(??0),求E(X).指数分布例4解由题知,X的概率密度为x?0x?0f(x)=0,?e ??xNote服从指数分布的随机变量的期望为参数λ
则?? ?t e 1 2??2111edx2?2e 2?dt2???? e 2?dt2?2???(x??)2???????????t2???????t2?t2????E(X)?xf(x)dx?x?(?t??) dt??0??????x????记t=设X ~N(?,?2)(? ?0),求E(X).正态分布例5解由题知,X的概率密度为1e2?22???(x??)2,x?Rf(x)=Note正态分布的第1个参数即其期望.
数学期望的性质三设C是常数,则有E(C)=C1设X是一个随机变量,C是常数,则有E(CX)=CE(X)2设X,Y是两个随机变量,则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)3E(XY)=E(X)E(Y)设X,Y是相互独立的随机变量,则有4
小结四数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,不同一般的平均值,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值。11数学期望的性质E(CX)=CE(X)E(C)=CE(X+Y)=E(X)+E(Y)X和Y相互独立→E(XY)=E(X)E(Y)1234
方差第二节
引例有甲、乙两种品牌的手表,它们的日走时误差分别记为X1和X2,其分布律如下(单位:s):X1?2?1012pk0.030.070.80.070.03X2?2?1012pk0.10.20.40.20.15k?1E(X1)??xkpk??2?0.03?(?1)?0.07?0?0.8?1?0.07?
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