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学科培优数学
“一笔画问题二”
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知识定位
所谓图的一笔画,指的就是:从图的一点出发,笔不离纸,遍历每条边恰好一次,即每条边都只画一次,不准重复.能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢?下面,我们就来探求解决这个问题的方法。
什么样的图形能一笔画成呢?这就是一笔画问题,它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画,就是从图形上的某点出发,笔不离开纸,而且每条线都只画一次不准重复.
我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.
知识梳理
一、一笔画问题
(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形;
(2)凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出.画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点;
(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点;
(4)奇点个数超过两个的图形,一定不能一笔画.
二、多笔画问题
我们把不能一笔画成的图,归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上,对于任意的连通图来说,如果有2n个奇点(n为自然数),那么这个图一定可以用n笔画成.
【重点难点解析】
1.知道什么样的的是奇点?什么样的点是偶点。
2.知道什么样的图形可以一笔画出。
3.不能一笔画出的图形叫做多笔画图形,多笔画图形的笔画数与什么有关呢?
【竞赛考点挖掘】
1.多笔画图形中图形中奇点数等于笔画数的2倍。
2.复杂图形中能否找出全部奇点而不遗漏。
例题精讲
【试题来源】
【题目】判断下列图a、图b、图c能否一笔画.
【试题来源】
【题目】下面图形能不能一笔画成?若果能,应该怎样画?
【试题来源】
【题目】下图中不能一笔画成,请你在下图中添加最少的线段,将其改成一笔画的图形,并画出路线图
【试题来源】
【题目】下图中的线段表示小路,请你仔细观察,认真思考,能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁?该怎样爬?
【试题来源】
【题目】下图是儿童乐园的道路平面图,要使游客走遍每条路并且不重复,那么出、入口应设在哪里?
【试题来源】
【题目】邮递员叔叔向11个地点送信一次信,不走重复路,怎样走最合适?
【试题来源】
【题目】观察下面的图,看各至少用几笔画成?
【试题来源】
【题目】判断下列图形能否一笔画.若能,请给出一种画法;若不能,请加一条线或去一条线,将其改成可一笔画的图形.
【试题来源】
【题目】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市,在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区,这条河有两条支流在城市中心汇合,汇合处有一座小岛A和一座半岛D,人们在这里建了一座公园,公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a).如果游人要一次走过这七座桥,而且对每座桥只许走一次,问如何走才能成功?
【试题来源】
【题目】右图是某展览厅的平面图,它由五个展室组成,任两展室之间都有门相通,整个展览厅还有一个进口和一个出口,问游人能否一次不重复地穿过所有的门,并且从入口进,从出口出?
【试题来源】
【题目】一条小虫沿长6分米,宽4分米,高5分米的长方体的棱爬行。如果它只能进不能退,并且同一条棱不能爬两次,那么它最多能爬多少分米?
【试题来源】
【题目】如图是某餐厅的平面图,共有五个小厅,相邻两厅之间有门相通,并且设有入口.请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门.如果可以,请指明穿行路线,如果不能,应关闭哪个门就可以办到?
【试题来源】
【题目】如图是一个超市的平面图,超市共有六个门,张明想一次走遍所有通道而又不走重复路线,请你帮他设计一种进出方法.
ABC
【试题来源】
【题目】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100米.小明沿线段从A点到B点,不许走重复路,他最多能走多少米?
【试题来源】
【题目】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示,图中的数字表示各条街道的千米数,他从邮局出发,要走遍各街道,最后回到邮局.怎样走才能使所走的行程最短?全程多少千米?
习题演练
【试题来源】
【题目】右图是某展览馆的平面图,一个参观者能否不重复地穿过每一扇门?如果不能,请说明理由.如果能,应从哪开始走?
【试题来源】
【题目】下面的图形,哪些能一笔画出?哪些不能一笔画出?
【试题来源】
【题目】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点,与奇数条线相连的点叫做奇点。下图中,哪些点是偶点?哪些点是奇点?
【试题来源】
【题目】如下图所示,两条河流的交汇处有两个岛,有七座桥连接这两个岛及河岸。问:一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥?
【试题来源】
【题目】
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