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第1节函数的概念及其表示
考试要求1.了解构成函数的要素,会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.
1.函数的概念
概念
一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y=f(x),x∈A
定义域
x的取值范围
值域
与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件:①定义域相同;②对应关系相同.
(2)结论:这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集.
1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几个特殊函数的定义域:
(1)分式型函数,分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y=tanx的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ+\f(π,2),k∈Z)).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y=1与y=x0是同一函数.()
(2)对于函数f:A→B,其值域是集合B.()
(3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的函数.()
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.()
答案(1)×(2)×(3)×(4)×
解析(1)错误.函数y=1的定义域为R,而y=x0的定义域为{x|x≠0},其定义域不同,故不是同一函数.
(2)错误.值域可以为B的子集.
(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.
(4)错误.只有两个函数的定义域,对应关系分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
2.(易错题)下列图形中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()
答案C
解析A中的值域不满足,B中的定义域不满足,D项不是函数的图象,由函数的定义可知C正确.
3.(2020·北京卷)函数f(x)=eq\f(1,x+1)+lnx的定义域是__________.
答案(0,+∞)
解析要使函数有意义,需满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+1≠0,,x>0,))
即x>0且x≠-1,所以函数的定义域为(0,+∞).
4.(2021·浙江卷)已知a∈R,函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2-4,x2,,|x-3|+a,x≤2.))若f(f(eq\r(6)))=3,则a=________.
答案2
解析因为eq\r(6)2,所以f(eq\r(6))=6-4=2,
所以f(f(eq\r(6)))=f(2)=1+a=3,解得a=2.
5.(易错题)已知f(eq\r(x))=x-1,则f(x)=________.
答案x2-1(x≥0)
解析令t=eq\r(x),则t≥0,故x=t2,
则f(t)=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥0).
6.函数f(x)=x-eq\f(1,x)在区间[2,4]上的值域为________.
答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2),\f(15,4)))
解析f(x)=x-eq\f(1,x)在区间[2,4]上单调递增,
又f(2)=eq\f(3,2),f(4)=eq\f(15,4),
故f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2),\f(15,4))).
考点一函数的概念
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中,y不是x的函数的是()
答案C
解析根据函数意义:对任意x值,y都有唯一值与之对应,只有C不满足.
2.(多选)下列各组函数是同一函数的为()
A.f(x)=x2-2x-1,g(s)=s2-2s-1
B.f(x)=x-1,g(x)=eq\f(x2-1,x+1)
C.f(x)=eq\r(x2),g(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x,x
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