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第1节函数的概念及其表示

考试要求1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.

1.函数的概念

概念

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

三要素

对应关系

y＝f(x)，x∈A

定义域

x的取值范围

值域

与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}

2.同一个函数

(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.

(2)结论：这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.

1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.

2.注意以下几个特殊函数的定义域：

(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.

(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.

(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.

(5)正切函数y＝tanx的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.()

(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()

(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.()

(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.

(2)错误.值域可以为B的子集.

(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.

(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数.

2.(易错题)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()

答案C

解析A中的值域不满足，B中的定义域不满足，D项不是函数的图象，由函数的定义可知C正确.

3.(2020·北京卷)函数f(x)＝eq\f(1,x＋1)＋lnx的定义域是__________.

答案(0，＋∞)

解析要使函数有意义，需满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,x＞0，))

即x＞0且x≠－1，所以函数的定义域为(0，＋∞).

4.(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4，x2，,|x－3|＋a，x≤2.))若f(f(eq\r(6)))＝3，则a＝________.

答案2

解析因为eq\r(6)2，所以f(eq\r(6))＝6－4＝2，

所以f(f(eq\r(6)))＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.

5.(易错题)已知f(eq\r(x))＝x－1，则f(x)＝________.

答案x2－1(x≥0)

解析令t＝eq\r(x)，则t≥0，故x＝t2，

则f(t)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥0).

6.函数f(x)＝x－eq\f(1,x)在区间[2，4]上的值域为________.

答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(15,4)))

解析f(x)＝x－eq\f(1,x)在区间[2，4]上单调递增，

又f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＝eq\f(15,4)，

故f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(15,4))).

考点一函数的概念

1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()

答案C

解析根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足.

2.(多选)下列各组函数是同一函数的为()

A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1

B.f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2－1,x＋1)

C.f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x